1. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Правила действия с комплексными числами в алгебраической форме

0. Основные определения

Комплексное число (0, 1) называется мнимой единицей и обозначается буквой i, т. е.

i=(0, 1); i²=-1.

Рассмотрим уравнение х²+1=0.

Проверим, что корнем этого уравнения является комплексное число (0, 1).

(0, 1) (0, 1)+1=0;

(0-1, 0+0)+(1, 0)=0;

(-1, 0)+(1, 0)=0;

0=0.

комплексное число на вертикальной оси имеет вид (0, b) и может быть представлено (0, b)=(b, 0)(0, 1)=bi. Такие числа называются чисто мнимыми, а ось – мнимой.

комплексное число на плоскости z=(a, b) может быть представлено в виде суммы действительного и чисто мнимого чисел.

z=(a, b)=(a, 0)+(0, b)=a+bi.

Мы получили алгебраическую форму записи комплексного числа. При этом a – называется действительной или вещественной частью и обозначается a=Re z, а b – мнимой частью и обозначается b=Im z, (Re и Im первые буквы латинских слов Realis – реальный, действительный и Imaginarius – воображаемый, мнимый).

Если a=0 z=bi – получаем чисто мнимые числа.

Если b=0 z=a – действительные числа.

Два комплексных числа z₁=a₁+b₁i и z₂=a₂+b₂i равны тогда и только тогда, когда равны действительные и мнимые части, т. е. a₁=a₂ и b₁=b₂.

Заметим, что понятие «больше», «меньше» для комплексных чисел не определяются.

Согласно определению суммы (1) для комплексных чисел

z₁=a₁+b₁i и z₂=a₂+b₂i

z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i

т. е. чтобы сложить 2 числа, нужно сложить их действительные и мнимые части. Аналогичное правило имеет место и для вычитания.

П р и м е р 1. Найдём сумму и разность комплексных чисел 1+2i и 3-5i.

(1+2i)+(3-5i)=(1+3)+(2i-5i)=4-3i;

(1+2i)-(3-5i)=(1-3)+(2i+5i)=-2+7i.

Для того, чтобы получить произведение комплексных чисел нужно перемножить двучлены по обычному правилу, учитывая при этом, что i²=-1.

z₁∙z₂=(a₁+b₁i)(a₂+b₂i)=a₁a₂+a₁b₂i+b₁a₂i +b₁b₂i²=a₁a₂-b₁b₂+(a₁b₂+a₂b₁)i.

П р и м е р 2. Найдём произведение комплексных чисел 1+2i и 3-5i.

(1+2i)(3-5i)=3-5i+6i-10i²=13+i.

Комплексные числа a+bi и a-bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными. Число, сопряженное z, обозначается . Сумма и произведение сопряженных чисел являются действительными числами, а произведение ещё и неотрицательно.

П р и м е р 3. Найдём сумму и произведение комплексного числа z=2-3i и сопряжённого ему =2+3i.

z+ =(2-3i)+(2+3i)=(2+2)+(-3+3)i=4;

z∙ =(2-3i)(2+3i)=4-9i²=13>0.

Для того, чтобы разделить 2 комплексных числа, нужно делимое и делитель умножить на число, сопряженное делителю.

.

П р и м е р 4. Найдем частное комплексных чисел 3+i и 1-i.

.

0. Задания для аудиторных занятий

1. Выполнить действия:

   1. (2+3i)+(4-i);

   2. (5-6i)-(3-i);

   3. (1+2i)(1+2i);

   4. (1+2i)(2-i);

   5. ;

   6. .

Ответы: 1) 6+2i; 2) 2-5i; 3) 5; 4) 4+3i; 5) 2-i; 6) –i.

2. Вычислить:

1)

Выполняем сначала действие в знаменателе, затем умножаем числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.

2) (1+2i)⁶

1+2i возводим в квадрат по известной формуле, затем в куб

.

3) .

Обозначив это комплексное число a+bi, составим систему уравнений, приравнивая действительные и мнимые части:

.

.

- не подходит, так как a и b – действительные числа.

.

Итак, .

3. Решить уравнение:

1)

.

2)

.

3)

.

4) .

Так как целыми корнями любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делители свободного члена, убеждаемся в том, что только z=3 (делитель 9) является целым корнем уравнения. Делим левую часть уравнения на z-3.

и, решая квадратное уравнение , получаем остальные корни:

,

,

.

4. Составить приведённое квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее корень .

Учитывая то, что уравнение с действительными коэффициентами обязательно имеет 2 сопряжённых корня и , находим второй корень уравнения .

Применяя теорему Виета, составляем систему:

Искомое уравнение имеет вид .