3.7.Предел функции в точке
Число А
называется пределом функции
при
,
если для всех значений х, достаточно
близких к
,
соответствующие значения функции как
угодно мало отличаются от числа А.
Записывается это следующим образом:
или
при
.
В
определении предела
может быть любым конечным числом или
же обозначать
и
.
При вычислении пределов пользуются следующими правилами:
предел постоянной величины равен самой величине, т.е.
;
предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций при условии, что пределы существуют, т.е. для двух функций справедливо равенство
;
предел произведения конечного числа функций равен произведению их пределов при условии, что эти пределы существуют, т.е. для двух функций справедливо равенство
;
если n – натуральное число, то
;
постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
;
предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
, если
.
При
вычислении пределов функции иногда
приходится пользоваться понятием
односторонних пределов. Пусть функция
определена на множестве
и пусть
.
Будем рассматривать такие значения х,
что
.
Это означает, что
,
оставаясь всё время слева от
.
Если при этом существует предел функции
при
,
то он называется левым пределом
этой функции в точке
или при
и обозначается
.
Пусть
теперь
,
оставаясь всё время справа от
,
т.е. оставаясь больше
.
Если при этом существует предел функции
то
он называется правым пределом
этой функции в точке
или при
и обозначается
.
Левый и правый пределы называются односторонними пределами функции в точке. Если односторонние пределы функции в точке существуют и равны между собой, то функция имеет тот же предел в этой точке:
Если односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой, то предел функции в этой точке не существует.
Пример
1. Найти предел функции
в точке х=2.
Решение.
Найдём односторонние пределы функции
в точке х=2. Если
,
то
и
.
Если же x>2, то
и
.
Так как односторонние пределы не равны
между собой, т.е.
,
то предел данной функции в точке x=2
не существует.
Пример
2. Найти предел функции
в точке x=6.
Решение.
Найдём односторонние пределы функции
в данной точке. Если
,
то
и
Если x>6, то
и
Так как односторонние пределы в точке
x=6 равны между собой,
то предел функции в этой точке существует
и равен 9.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Функция
называется
бесконечно малой при
,
если
.
Бесконечно малые функции обладают
следующими свойствами:
алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;
произведение конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;
произведение ограниченной величины на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
Рассмотрим
бесконечно малые функции
и
,
т.е.
и
.
Так как эти бесконечно малые функции
могут стремиться к нулю при
с разными скоростями, то для их сравнения
находится предел отношения этих функций
.
При этом возможны следующие случаи:
если
(А
– конечное число), то
и
называются
бесконечно малыми функциями одного
порядка;если
,
то
и
называются
эквивалентными бесконечно малыми
функциями при
;
в этом случае предел отношения двух
бесконечно малых функций не изменится,
если каждую из них или какую-либо одну
заменить им эквивалентными;если предел не существует, то бесконечно малые функции и называются несравнимыми.
Функция
называется бесконечно большой
функцией в точке
,
если для всех значений х, достаточно
близких к
,
соответствующие значения функции по
абсолютной величине превосходят любое
наперёд заданное сколь угодно большое
положительное число, т.е.
при
или
.
Пусть
есть бесконечно большая функция при
,
тогда функция
является бесконечно малой функцией при
.
Если
есть бесконечно малая функция при
,
то
является бесконечно большой функцией
при
.
Например,
функция
при
является бесконечно малой функцией.
Тогда функция
при
является бесконечно большой. Функция
при
является
бесконечно большой. Тогда
при
будет бесконечно малой функцией.
Предел
отношения бесконечно малых функций
может быть конечным, бесконечным или
же вообще не существует. В этом случае
выражение
при
называется неопределённостью вида
.
Пусть
и
при
,
т.е.
и
являются бесконечно большими функциями
в точке
.
Предел отношения этих функций может
быть конечным, бесконечным или вообще
не существует. Выражение
при
называется неопределённостью вида
,
а выражение
называется неопределённостью вида
.
Если
– бесконечно малая функция, а
– бесконечно большая при
,
то выражение
называется неопределённостью вида
.
Аналогично вводятся неопределённости
вида
,
,
.
Чтобы раскрыть неопределённость, нужно
найти соответствующий предел.
Пример
1. Найти предел функции
при
.
Решение. Подставим предельное значение х=4 в функцию:
=
.
Получена неопределённость вида
.
Для её раскрытия найдём корни квадратного
трёхчлена, записанного в числителе, и
разложим его на множители:
,
,
,
.
Подставим разложение в числитель:
=
=
.
Пример
2. Найти предел
.
Решение. Подставим предельное значение х=1 в функцию:
.
Для раскрытия неопределённости
разложим числитель и знаменатель на
множители:
,
,
,
;
,
,
,
.
Тогда
.
Пример
3. Найти предел функции
при х=5.
Решение. Подставим вначале значение х=5 в функцию:
.
Для раскрытия полученной неопределённости
числитель и знаменатель функции умножим
на выражение
,
сопряжённое числителю, и выполним
необходимые преобразования:
=
.
Пример
4. Найти предел
.
Решение.
При подстановке в функцию предельного
значения х=0 получим:
=
.
Умножим числитель и знаменатель функции
на выражение
и выполним необходимые преобразования:
=
=
=
.
Пример
5. Найти предел функции
при
.
Решение.
Подставим в функцию вместо переменной
х её предельное значение:
.
Получена неопределённость вида
.
Для её раскрытия каждый член числителя
и знаменателя разделим на
и
вычислим предел:
,
так как функции
,
,
являются бесконечно малыми при
.
Предел
называется первым замечательным
пределом. Пусть
–
есть бесконечно малая функция при
.
Тогда
.
Предел
или
называется вторым замечательным
пределом.
Пример
6. Найти предел функции
при
.
Решение.
.
Для раскрытия неопределённости
воспользуемся первым замечательным
пределом:
.
Пример
7. Найти предел
.
Решение. Воспользуемся формулой второго замечательного предела :
.
Пример
8. Найти предел функции
при
.
Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом в виде формулы :
.