Потенциальная диаграмма

При расчете и анализе электрических цепей часто необходимо определить разности потенциалов между отдельными точками цепи и распределение потенциала в цепи. Для решения этой задачи предварительно необходимо рассчитать токи в ветвях цепи или в случае неразветвленной цепи – ток в цепи. Потенциал одной из точек, например на рис.6, принимается равным нулю (на схеме эту точку показывают заземленной) и рассчитываются потенциалы всех точек схемы.. Так, для неразветвленной цепи рис.6 ток в цепи определяется по второму закону Кирхгофа

,

откуда

.

Рис.6. Неразветвленная электрическая цепь

Найдём распределение потенциалов, используя закон Ома:

т.к. то ;

;

;

;

;

.

Последнее выражение является проверочным.

Рис.7. Потенциальная диаграмма

Потенциальной диаграммой называется график зависимости , построенный при обходе контура. Потенциальная диаграмма для контура рис.6. показана на рис.7. На участках с сопротивлениями имеет место постепенное изменение потенциала, причём угол наклона прямых , характеризующий это изменение, везде одинаков, так как в неразветвленной цепи ток один и тот же.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

Задание:

Для заданной электрической цепи постоянного тока требуется найти:

1. Токи во всех ветвях и напряжение между точками А и В.

2. Составить уравнение баланса мощностей.

3. Построить потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Дано:

Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом

В, В, В, В, В

Рис. 8. Исходная схема сложной электрической цепи

Решение:

1. Выберем условно – положительные направления искомых токов во всех ветвях схемы . Обозначим на схеме характерные точки цепи – узлы цепи и точки между соседними элементами цепи, отличающиеся между собой потенциалами, точку с нулевым потенциалом.

2. Метод преобразования электрической цепи. Преобразованию подвергаются ветви с резистивными (пассивными) элементами, т.е. такие ветви, которые не содержат источников ЭДС и напряжений. Установить:

• есть ли параллельные соединения резисторов, отсутствуют;

• есть ли последовательные соединения, и соединены последовательно:

Ом;

• есть ли в схеме соединения резисторов по схеме «звезда» и «треугольник», если есть решить вопрос о целесообразности преобразования «звезды» в «треугольник» или наоборот.

Преобразуем «звезду» в треугольник :

Ом;

Ом;

Ом..

После преобразования получаются параллельные соединения резисторов, которые также преобразуются:

Ом;

Ом;

Ом.

На рис.9 показаны этапы преобразования исходной схемы

Рис. 9. Этапы преобразования исходной схемы

В получившейся схеме, преобразуем «треугольник» резисторов в «звезду» .

Ом;

Ом;

Ом.

Получим схему «звезда» с новым узлом . Заменив исходную схему с учётом выполненных преобразований, получим упрощённую схему электрической цепи, содержащую только два контура (рис.10).

Не имеет смысла объединять последовательно соединенные сопротивления и , и , так как исчезнут точки и , из-за чего не возможно будет определить потенциалы в этих точках.

Рис.10. Упрощённая схема электрической цепи

3. Найдём токи полученной схемы (рис.10) используя метод непосредственного применения законов Кирхгофа.

• Определить количество ветвей и количество узлов :

, .

• Выделить независимые контуры и произвольно принять их положительные направления обходов.

• Составить уравнение по 1 – му закону Кирхгофа и уравнения по 2 – му закону Кирхгофа. Для узла

.

Для контура I:

.

Для контура II:

.

• Подставить исходные данные в полученную систему уравнений и решить её:

Данную систему уравнений можно решить, используя, например, математический пакет MATLAB. Для этого в командном окне необходимо ввести:

>> A=[1 -1 1

21 8 0

0 8 23]

A =

1 -1 1

21 8 0

0 8 23

>> B= [0

205

350]

B =

0

205

350

>> X = A\B

X =

4.2575

14.4491

10.1916

>>

Таким образом, получим токи:

А, А, А

Токи получились положительными, т.е. произвольно принятые направления токов совпали с их действительными направлениями.

4. Найдём токи полученной схемы (рис.10) используя метод контурных токов.

• Составить уравнения по 2 – му закону Кирхгофа для контуров I и II.

Для контура I:

.

Для контура II:

.

• Подставить исходные данные в полученную систему уравнений и решить её:

Чтобы решить данную систему, в командном окне MATLAB введем следующие команды:

>> A = [29 -8

8 -31]

A =

29 -8

8 -31

>> B = [205

350]

B =

205

350

>> X = A\B

X =

4.2575

-10.1916

>>

Таким образом, получим контурные токи:

А, А.

Тогда искомые токи будут

А,

А,

А

5. Найдём токи полученной схемы (рис.10) методом двух узлов.

• Перечертить схему (рис.10) заменив все источники напряжения источниками ЭДС. С направлениями, противоположными направлениям напряжения.

Рис.11. Упрощённая схема с заменёнными источниками напряжения

• Вычислить проводимости ветвей схемы

См;

См;

См;

• Вычислить узловое напряжение

В.

• Вычислить токи в ветвях:

А,

А,

А.

6. Переход от упрощённой схемы к исходной.:

• Найти по 2 – му закону Кирхгофа напряжения между теми узлами и характерными точками упрощённой схемы, которые образуют ветви в исходной электрической цепи. Для нахождения в исходной схеме (рис.8) токов , , необходимо знать напряжения между узлами , , . Эти напряжения найдём из упрощённой схемы.

Для контура :

,

В

Для контура :

,

В

Для контура :

,

В

• Определим токи в ветвях исходной схемы (рис.8) по закону Ома:

А, А, А.

• Определить узлы, в которых известны все токи, кроме одного. Это узлы , , . По 1 – му закону Кирхгофа определить в этих узлах неизвестные токи

Для узла :

,

А.

Для узла :

,

А.

Для узла :

,

А.

Если ещё остались неизвестные токи, определить их по 2 – му закону Кирхгофа, рассмотрев те контуры, в которые эти токи входят.

7. Нахождение напряжения между двумя характерными точками.

• Ввести искомое напряжение между заданными узлами или характерными точками цепи, обозначив это напряжение соответствующей стрелкой на схеме.

• Выделить один любой контур из образованных искомым напряжением.

Для контура :

,

В

8. Баланс мощностей.

,

.

Вырабатываемая мощность источником, режим работы которого характеризуется совпадением направлений его ЭДС и тока через него

.

Отдаваемая мощность источником, режим работы которого характеризуется несовпадением направлений напряжения на его клеммах и тока через него

.

Преобразуемая мощность – мощность, которая потребляется при преобразовании электрической энергии в другие виды энергии источником, имеющим ЭДС и ток разных направлений (например, преобразуемая мощность при зарядке аккумуляторных батарей)

.

Потребляемая мощность приёмником, режим работы которого характеризуется совпадением направлений приложенного к нему напряжения и тока через него

.

Потребляемая мощность, выделяемая в виде тепла на элементе цепи с сопротивлением и на внутреннем сопротивлении источника

.

В соответствии с выше изложенным, составим баланс мощности:

Вт

Вт

– баланс мощностей сходится.

9. Потенциальная диаграмма графически изображает 2 – й закон Кирхгофа. Сумма потенциалов в замкнутом контуре электрической цепи равна нулю

,

или

.

Следовательно, одну из точек цепи, например, точку , можно заземлить, а потенциал её приравнять к нулю.

Выделим из рассчитанной электрической цепи внешний контур:

В,

В,

В,

В,

В,

В,

В,

В,

В.

Рис. 12. Потенциальная диаграмма для внешнего контура

исходной электрической цепи

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вар.	Рис.№			Вар.	Рис.№
1	1	45	1	33	6	75	7
2	2	50	2	34	7	60	4
3	3	55	3	35	8	50	2
4	4	60	4	36	9	75	7
5	5	65	5	37	1	80	8
6	6	70	6	38	2	85	9
7	7	75	7	39	3	85	9
8	8	80	8	40	4	50	2
9	9	85	9	41	5	75	7
10	1	65	5	42	6	45	1
11	2	70	6	43	7	50	2
12	3	80	8	44	8	60	4
13	4	85	9	45	9	60	4
14	5	55	3	46	1	70	6
15	6	60	4	47	2	80	8
16	7	45	1	48	3	50	2
17	8	45	1	49	4	70	6
18	9	65	5	50	5	80	8
19	1	85	9	51	6	50	2
20	2	55	3	52	7	65	5
21	3	60	4	53	8	85	9
22	4	80	8	54	9	50	2
23	5	70	6	55	1	60	4
24	6	65	5	56	2	45	1
25	7	85	9	57	3	65	5
26	8	55	3	58	4	75	7
27	9	70	6	59	5	45	1
28	1	55	3	60	6	80	8
29	2	45	1	61	7	80	8
30	3	70	6	62	8	75	7
31	4	55	3	63	9	55	3
32	5	60	4	64	1	50	2