Уравнения максвелла для электромагнитного поля

Полная система уравнений Максвелла (в интегральной форме) включает в себя семь уравнений.

Первое уравнение Максвелла следует из закона электромагнитной индукции (4)

, (11)

где – напряженность электрического вихревого поля;

– скорость изменения магнитного поля;

dL – элемент длины контура;

ds – элемент площади поверхности, ограниченной контуром L.

Электрическое вихревое поле возникает при изменении магнитного поля и зависит от скорости его изменения .

Если электрическое поле создается неподвижными зарядами, то это электростатическое поле . Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Таким образом:

. (12)

Поэтому электростатическое поле, является потенциальным.

Из сравнения выражений (11) и (12) следует, что между рассматриваемыми электрическими полями: вихревым и электростатическим - имеется принципиальное различие. Силовые линии электрического поля , возбуждаемого переменным магнитным полем, как и у самого магнитного поля, замкнуты. Силовые линии электростатического поля , возбуждаемого неподвижными зарядами, разомкнуты.

Напряженность суммарного электрического поля в общем случае связана с напряженностью вихревого и электростатического поля :

. (13)

С учетом уравнения (13) уравнение (11) примет вид:

(14)

Первое уравнение Максвелла (14) показывает, что электростатическое поле может возбуждаться как переменным магнитным полем (вихревое поле), так и неподвижными зарядами (потенциальное поле).

Второе уравнение Максвелла получено на основании обобщенной теоремы о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля (10):

. (15)

Второе уравнение Максвелла (15) показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами - электрическими токами

, либо переменным электрическим полем, изменяющимся со скоростью .

Третье уравнение - теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля.

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, заключенных внутри этой поверхности:

, (16)

где – суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверх-

ности ;

– объемная плотность заряда при непрерывном распределении заряда по объему .

Из третьего уравнения (16) Максвелла следует, что существуют носители электрического заряда.

Четвёртое уравнение: теорема Гаусса для магнитного поля:

. (17)

Поток вектора индукции магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Из четвертого уравнения Максвелла (17) следует, что магнитных зарядов нет.

Пятое уравнение определяет связь между характеристиками электрического поля:

. (18)

Вектор электростатического смещения пропорционален напряженности электрического поля и совпадает с ним по направлению.

Шестое уравнение определяет связь между индукцией магнитного поля и напряженностью этого поля:

. (19)

Вектор индукции магнитного поля пропорционален напряженности этого поля и совпадает с ним по направлению.

Пятое и шестое уравнения показывают, что величины, входящие в полевые уравнения Максвелла (14) и (15), не являются независимыми, между ними существует определенная связь.

Седьмое уравнение – закон Ома в дифференциальной форме:

, ( 20)

где – удельная проводимость вещества.

Плотность тока проводимости прямо пропорциональна напряженности внешнего электрического поля .

Из теории Максвелла следует, что существует единое электромагнитное поле, содержащее в общем случае в качестве составляющих и электрическое, и магнитное поля, связанные между собой. Данные поля при изменении во времени способны взаимно превращаться друг в друга. Любое изменение магнитного поля приводит к возникновению вихревого переменного электрического поля, изменение которого порождает переменное магнитное поле.

Для стационарных полей ( и ) существуют разные источники. Стационарное электрическое возбуждается неподвижными электрическими зарядами. Стационарное магнитное поле возбуждается движущимися с постоянной скоростью электрическими зарядами (постоянным электрическим током).