Функція і її асимптотичні оцінки
Означення.
Числова функція
визначає кількість
простих чисел,
які не
перевищують дійсного
числа х.
Ця числова функція відіграє велику роль в теорії розподілу простих чисел.
Розподіл простих чисел у натуральному ряді визначається іррегулярністю.
Існують як завгодно довгі відрізки натурального ряду, які зовсім не містять простих чисел.
Для всіх дійсних
х≥2 модна
знайти такі дві додатні сталі a
і
b
(a<b),
що
(2). Нерівності (2) називаються нерівностями
Чебишова.
Для сталих a
і
b
Чебишов знайшов значення: a=0,92129…,
b=
.
Означення.
Дві додатні функції g(x)
і
h(x),
означені для дійсних додатних значень
х,
називають асимптотично рівними, якщо
.
Для знаходження
простої аналітичної функції f(x),
яка була б наближеним виразом функції
,
користуються аналогічною формулою:
( тобто функції f(x)
і
мають бути асимптотично рівними).
Лежандр і Гаусс
припустили, що функція
асимптотично
дорівнює
,
але довести цього не змогли. Чебишов
уперше вказав на зв’язок функції
з трансцендентними функціями
і
( інтегральним
логарифмом). Цей зв’язок полягає в тому,
що при
функції
і
дають значення
функції
з відносною похибкою, яка прямує до
нуля.
,
.
(3)
Похибка при користуванні інтегральним логарифмом менша, ніж для функції .
Асимптотичні закони (3) розподілу простих чисел довели в 1896 році Адамар (француз) і Валле-Пуссен (бельгієць) з використанням методів теорії функції комплексної змінної, і в 1949 році Сельберг (норвежець) і Ердьош (угорець) елементарним, але дуже складним способом.