2. Условный экстремум
Говорят, что функция , определённая в некоторой окрестности точки , имеет в точке М условный максимум (условный минимум), если для любой точки N(x1; x2; . . .; xn) из вышеуказанной окрестности точки М, отличной от M, координаты которой удовлетворяют соотношениям
(*)
m < n, выполняется неравенство f(N) < f(M) (f(N) > f(M)), при этом считается, что координаты точки удовлетворяют уравнениям (*). Уравнения (*) называются уравнениями связи.
Для
нахождения условного экстремума функции
при уравнениях связи (*) (все рассматриваемые
функции считаются дважды дифференцируемыми)
вводят в рассмотрение функцию Лагранжа
L(x1;
x2;
...; xn;
)
= f(x1;
x2;
...;xn)
+
(x1;
x2;...;xn)+
+
(x1;
x2;
... ; xn)
+ ... +
(x1;
x2;
... ; xn)
и решают задачу нахождения экстремума
функции L(x1;
x2;
... ; xn;
)
при условии, что выполнены равенства
(**)
для
всевозможных наборов
,
для которых
(
есть приращение j - го аргумента
в точке М).
Теорема.
Пусть
– стационарная точка функции Лагранжа
L(x1;
x2; ... ;
xn;
).
Если для всевозможных
,
подчинённых в точке
условиям (**), справедливо неравенство
, то
является точкой максимума, если для
таких же
то
является точкой минимума.
Замечание. 
является квадратичной формой от
переменных
.
Вопрос знакопостоянства квадратичной
формы можно решать с помощью критерия
Сильвестра.
В случае функции двух переменных справедливо следующее утверждение.
Теорема.
Пусть
требуется найти условный экстремум
дважды непрерывно дифференцируемой
функции u = f(x; y) с уравнением связи (x;
y) = 0. Пусть
– стационарная точка функции Лагранжа
.
Рассмотрим функцию
.
Тогда:
1) если
,
то
является точкой условного минимума; 2)
если
,
то
является точкой условного максимума.
3. Наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных в замкнутой области
Для
нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции
в ограниченной замкнутой области (D)
поступают следующим образом. Сначала
находят стационарные точки M1,
M2,…,
Mk,
принадлежащие (D).
Затем исследуют сужение
функции u
= u(x1;
…; xn)
на границе
области (D).
Пусть
,
– точки максимума и минимума
функции
. После этого
сравнивают значения
и
,
и
и среди этих значений выбирают наибольшее
и наименьшее.
4. Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.
Исследовать на экстремум функции: 1)
;
2)
.
Ответ.
1) в М(0,3) – минимум,
;
2)
в
– минимум,
;
в
– максимум,
.
Исследовать на экстремум функции: 1)
при условии
;
2)
при условии
.
Ответ.
1)
– точка условного максимума,
;
2)
– точка условного минимума,
.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области D,
заданной неравенствами
,
,
.
Ответ.
Наименьшее значение
;
наибольшее значение
.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в прямоугольнике с вершинами A(1,–3),
B(1,2),
C(4,2),
D(4,–3).
Ответ.
Наименьшее значение
;
наибольшее значение
.