11 Клас

1995

1(120). Оцініть енергію основного стану осцилятора, скористав­шись співвідношенням невизначеностей Ґайзенберга

де риска зверху позначає середнє значення.

2(121). Якщо взяти шар однорідної речовини товщиною і площею поперечного перерізу і підтримувати на кінцях цього шару постійну різницю температур , то за час через шар пройде кількість теплоти , де - теплопровідність речовини шару. Маємо кубик складений з пластинок різної товщини , , ,…, і різної теплопровідності , , ,…, , відповідно.

• Знайдіть теплопровідність кубика в напрямку вздовж пласти­нок і в напрямку, перпендикулярному до них;

• Знайдіть у якому з цих двох напрямків теплопровідність кубика більша;

• Проведіть можливий аналіз отриманих результатів.

3(122). Заряджена частинка рухається з постійною швидкістю у середовищі з показником заломлення . Із дослідів відомо, що в цьому випадку частинка може випромінювати фотони. Визначіть, під якими кутами до напрямку руху частинки випромінюються фотони, та умову, при якій це випромінювання є можливим. Врахуйте, що імпульс фотона в середовищі , де - енергія фотона, - його швидкість у середовищі.

4(123). В електричному колі спочатку ключ був розімкнутий і конденсатор не заряджений. Визначіть, яка кількість теплоти виділяється на резисторі після замикання ключа. Всі параметри кола відомі.

5(124). Коло змінного струму складається з ідеальних котушок індуктивності , , конденсаторів ємність , і резистора . При замкненому колі амплітуда сили струму залишається постійною при зміні частоти генератора синусоїдальної напруги. Знайдіть величину відношення частоти , при якій середня активна потужність , що виділяється в колі, максимальна, до різниці частот , де і - частоти, при яких активна потужність дорівнює .

1996 р.

1(125). Невеликий циліндричний магніт падає в полі сили тяжіння вздовж осі тонкостінної циліндричної металевої труби нескінченної довжини. Вісь магніта паралельна до осі трубки. Визначіть швидкість магната в довільний момент часу , якщо його початкова швидкість була нульовою. Проаналізуйте отриманий результат. Товщина стінок труби , її середній радіус , питомий опір матеріалу труби .

2(126). Ідеальний газ міститься в еластичній теплоізолюючій оболонці під тиском і при температурі . Визначіть температурі газу, що встановиться після того, як зовнішній тиск на газ стрибкоподібно зміниться до значення . Порівняйте зміну температур в цьому процесі зі зміною її, що була б, якби адіабатичний процес відбувся дуже повільно.

3(127). Фотони високих енергій можна отримати під час розсіювання видимого світла на ультрарелятивістських електронах (енергія електрона , де - маса спокою) у прискорювачах. Джерело світла в цьому випадку-лазер. У 1970 р. на Стенфордськом прискорювачі (США) за допомогою такого методу отримали фотони з енергією 5 ГеВ. Розгляньте зустрічне зіткнення фотона з енергією з електроном, що має енергію і імпульс . Отримайте вираз для енергії фотона, розсіяного назад, тобто в напрямку імпульсу електрона:

- Нехтуючи віддачею електронів (зміною їхньої енергії під час зіткнення),

- Враховуючи віддачу електронів. Оцініть значення енергії розсіяного фотона, якщо і , , , .

4(128). У борівській моделі атома водню електрон обертається навколо ядра по коловій орбіті. Відшукайте зв’язок між орбітальний магнітним і механічним моментами електрона. Зважте, що коловий струм силою , який охоплює площу , створює магнітний момент з величиною .

5(129). У „чорній скриньці” (рис. 1) є електричне коло, яке містить джерела постійного струму, резистори та ідеальні діоди. На рис. 2 показано графік залежності показів амперметра від напруги між точками А і В. Запропонуйте можливу електричну схему „чорної скриньки” і визначте значення параметрів елементів, що є на схемі.

1997

1(130). Два ланцюжки електронів рухаються паралельно один до одного зі швидкістю , де - швидкість світла. Яка сила взаємодії між ланцюжками є більшою і в скільки разів: сила електростатичної чи магнітної взаємодії?

2(131). Заряджена частинка, що має початкову швидкість , влітає в однорідне електричне поле плоского конденсатора перпендикулярно до ліній напруженості. Після конденсатора частинка потрапляє в однорідне магнітне поле перпендикулярно до його лінії індукції. Якою має бути індукція цього поля, щоб частинка перетнула напрям свого початкового руху на відстані від початку руху в полі конденсатора? - довжина пластин конденсатора, напруженість електричного поля в ньому. Знехтуйте силою тяжіння. Відхилення частинки під дією полів вважайте малими.

Описаний принцип може бути використаний для знаходження розподілу частинок за швидкостями в паралельному їх пучку, якщо вздовж осі пучка в магнітному полі розмістити фотоплівки. Знайдіть при заданих і залежність відстані точки попаданню частинки на плівку від початкової швидкості частинки .

Побудуйте графіки цієї залежності для випадків малих значення і .

3(132). Кулька радіусом і масою скочується похилою площиною, яка утворює з горизонтом кут , з висоти до висоти після чого падає з цієї висоти на горизонтальну площину і відскакує від неї. На якій висоті потрібно розташувати горизонтально полицю, щоб кулька опустилася на неї без відскоку? З якою швидкістю рухатиметься після цього кулька? Момент інерції кульки , коефіцієнт тертя ковзання - . При відскакувані кульки від площини вертикальна складова її швидкості за значенням зберігається.

4(133). Для обігрівання приміщення використовується теплота, яку віддається повітрю під час роботи теплового двигуна. Цей двигун приводить у дію холодильну машину, яка віднімає теплоту від ґрунтових вод і віддає її повітрю в кімнаті. Визначіть теоретичний ККД такого циклу опалення, якщо температура в котлі теплового двигуна , температура води в батереї , а температура грунтових вод ?

5(134). По вертикальних провідних рейках у полі тяжіння можна ковзати без тертя металевий стрижень масою і довжиною . Рейки замкнуті на ідеальну котушку з індуктивністю і знаходяться в горизонтальному магнітному полі, індукція якого перпендикулярна до площини рисунка. Спочатку стрижень підтримувався в спокої зовнішньою силою. У певний момент часу стрижень відпускають, і він починає рухатися вниз. Визначіть модуль вектора магнітної індукції , якщо максимальна швидкість руху стрижня дорівнює . Опорами стрижня і рейок знехтуйте.

1996 р.

1(135). Конденсатор ємністю приєднали до джерела напруги, яке має ЕРС . Нехай - повний опір кола. Знайдіть ефективність процесу зарядження конденсатора, якщо підтримувати постійним а) значення напруги джерела, б) струм у колі. Порівняйте ефек­тивність процесів а) і б), якщо час зарядки: малий; великий. Ефек­тивність процесу визначається відношенням енергії, накопиченої конденсатором, до затраченої під час зарядки.

2(136). Сім’я вирішила зробити прогулянку на повітряній кулі, під­йомна сила якої виникає при підігріві повітря через отвір у ниж­ній частині кулі. Загальна маса пасажирів, корзини і балону з про­паном для газового пальника 221 кг. У балоні знаходиться 800 г пропану. Чи зможе піднятись куля, якщо повітря в ній нагріли до 127 °С ? Якою має бути мінімальна маса пропану в балоні, щоб куля могла піднятись у повітря? Знехтуйте нерівномірністю нагрі­вання повітря в кулі та теплообміном через її оболонку. Теплоєм­ність повітря , теплотвірна здатність пропану , температура навколишнього повітря 27 °С, маса моля пропану 44 г.

3(137). 1. На рис. 14 зображено хід монохроматичного променя світла в одній і тій же прямій рівнобедреній призмі при падінні променя на різні її грані або під різними кутами. В чому принципова різниця характеристик світла після призми в цих випадках, якщо на призму падає біле світло?

2. Нехай на призму падає світловий пучок, як зображено на рис. 4, який складається з червоного та фіолетового променів. Знайдіть максимальну ширину світлового пучка, при якій промені на виході призми спостерігатимуться розділеними. Довжина ребра призми 4 см, показник заломлення червоного світла 1,33, фіолетового -1,34. Пучки променів вважайте розділеними, якщо відстань між ними більша, ніж ширина пучків . Під час розрахунків скористайтесь тим, що при малих значеннях :

4(138). Плазма складається з однакової кількості вільних електронів і додатньо заряджених йонів, так що в середньому в кожному елементі об’єму система електронейтральна. Внаслідок теплового руху частинок виникають флуктуації їх концентрації, а, отже, густини заряду. Маса йонів набагато більша, ніж електронів, тому зміну густини заряду можна пов’язувати лише з рухом електронів. Запропонуйте модель, яка описує флуктуації густини заряду, і, скориставшись нею, покажіть, що ці флуктуації мають коливальний характер. Знайдіть частоту коливань густини заряду.

5(139). Для забезпечення правильного заходу літака на посадку застосовують систему, яка складається з радіопередавача, що пра­цює на частоті , і двох передавальних антен, розмі­щених на відстані одна від одної. Які відхилення від точ­ного курсу літака може виявити, приймаючи сигнали цієї радіо­системи, радист літака на відстані від точки посадки?

1999 р.

1(140). Йон, що знаходиться у вакуумі над поверхнею діелектрика на відстані від неї, притягується до поверхні, як можна показати, зі силою , де - залежить лише від діелектричної проникності діелектрика, - заряд йона.

1. Доведіть, що йон у діелектрику відштовхуватиметься від його поверхні з такою ж за величиною силою.

2. Якщо ввімкнути відповідно напрямлене електричне поле на­пруженістю , то йон у діелектрику знаходитиметься на деякій рівноважній відстані від поверхні і, внаслідок теплових рухів, здійснюватиме малі коливання. Вважаючи твердження у пункті 1 доведеним, знайдіть частоту коливань йона.

3. Електрони ззовні діелектрика не проникають в нього завдяки існуванню потенційного бар’єра. Для рідкого гелію він дорівнює майже 1 еВ. Тому малоенергетичні електрони лише левітують над поверхнею рідкого гелію на деякій рівноважній відстані від неї. Проробимо такий дослід. Розмістимо електроди у вигляді пластин плоского конденсатора один над поверхнею гелію, інший - в об’ємі гелію на відстані від його поверхні. До електродів прикладена напруга . Біля від’ємного електрода є джерело електронів (див. рис.). Електрони втягуються під електрод і під дією електричного поля створюють тиск на поверхню рідкого гелію. Цей тиск компенсується гідростатичним тиском, внаслідок зміни рівня рідкого гелію за межами електродів. Знайдіть висоту підняття гелію за межами електродів. Густину рідкого гелію і його діелектричну проникність вважайте відомими.

2(141). Космічний корабель масою , пролітаючи повз зорю потужним випромінюванням, потрапляє у полон до неї на колову орбіту з деяким радіусом . Щоб звільнитись від полону та зекономити пальне, корабель відкрив світловий парус - тонку дзеркальну плівку у формі круга з радіусом , який весь час спрямована на зорю.

1. Яким має бути радіус паруса, щоб корабель міг перейти на еліптичну орбіту з відстанню до зорі в апогеї , де планується увімкнути основний двигун? Випромінювання зорі ізотермічне, його потужність (енергія, яку випромінює зірка за одиницю часу) .

2. Виконайте числові розрахунки для випадку Сонця. Тут відомо, що: , маса Сонця , гравітаційна постійна , .

Примітка: За законами Кеплера, замкнуті траєкторії небесних тіл (зумовлені гравітаційними силами) мають форму еліпса а не кола. При русі тіла по такій траєкторії добуток (секторіальна швидкість) залишається сталим за величиною, де - лінійна швидкість тіла по траєкторії, - його відстань до джерела гравітації.

3(142). Заряджений конденсатор ємністю приєднали до котушки індуктивності . Як має залежати від часу ємність конденсатора щоб струм у колі зростав прямо пропорційно часові?

4(143). У зразку народжуються -мезони, які розпадаються на два фотони. Останні реєструються двома симетрично розташованими лічильниками (див. рис.). Одночасне спрацювання лічильників означає, що два фотони народились в один і той же час від одного й того ж мезона. Коли лічильники почали зводити ближче один до одного, то починаючи з деякого кута між ними, одночасні спрацювання лічильників різко упали до нуля. Використавши цей факт, отримайте формулу для значення швидкості -мезонів, що народжуються.

5(144). Перед тонкою двоопуклою лінзою з однаковими радіусами кривизни поверхонь стоїть запалена свічка. Коли здалеку дивитись на лінзу з боку свічки, то бачимо два зображення свічки - пряме і перевернуте. Перевернуте зображення в разів більше від прямого. Яке зображення свічки побачимо, якщо дивитись на неї здалеку з іншого боку лінзи? Лінза виготовлена зі скла з відносним показником заломленням . Поверхня лінзи частково відбиває теплові промені, але кожен промінь не більше одного разу. Фокусна відстань лінзи і радіуси кривизни її поверхонь пов’язані співвідношенням:

2000

1(145). З обох боків стола (рис. 1) підвішені кулі А і В. На лівому краю стола до кулі А дотикається куля 1. Кулю А відводять на кут і відпускають. Між кулями послідовно відбуваються абсолютно пружні центральні удари.

1. На який кут відхилиться куля В?

2. На якій відстані від лівого краю стола треба розмістити кулю (рис. 2), щоб кут був найменшим?

Радіус куль , довжина стола , довжина нитки підвісу , момент інерції кулі відносно її центра , коефіцієнт тертя ковзання , тертям кочення та тертям між кулями знехтуйте.

2(146). Поверхня однорідного діелектричного диска рівномірно заряджена. Повний її заряд . Диск помістили в однорідне магнітне поле з індукцією , яка перпендикулярна до площини диска. Диск має масу і може обертатися навколо вісі, що проходить через його центр. З якою кутовою швидкістю почне обертатися диск якщо магнітне поле зникне?

3(147). Дія гравітаційного поля на світловий промінь зумовлене наявністю у фотонів інертної маси згідно зі співвідношення , де - частота фотона.

1. Знайдіть кут відхилення світлового променя в однорідному гравітаційному полі з гравітаційним прискоренням , перпендикулярним променеві, після того, як він пройшов шлях .

2. Знайдіть відносну зміну частоти світла після того, як воно пройде шлях у полі зі сталим гравітаційним прискоренням , оцініть її для прискорення біля поверхні Землі і .

3. Нехай гравітаційне поле створене зорею масою . Який максимальний радіус повинна мати ця зоря, щоб вона була „чорною дірою”, тобто, щоб світло випромінене з поверхні зірки не досягнуло віддаленого спостерігача ? Зробіть оцінку для маси Сонця ( , ).

4(148). Прямокутний акваріум завдовжки розділений перегородкою на два відсіки. В центрі перегородки знаходиться симетрична двоопукла лінза. На лівій стінці акваріума в центрі нарисована стрілка завдовжки . Якщо налити рідину в лівий відсік, то на стінці правого відсіку з’явиться чітке зображення стрілка завдовжки . Якщо ту ж рідину налити в правий відсік виливши її з лівого, то на стінці правого відсіку знову буде чітке зображення стрілки, але вже завдовжки . Знайдіть довжину стрілки , показник заломлення рідини і відстань між лінзою стінками акваріума. Вважайте всі кути променів малими, так що .

5(149) Визначіть швидкість, з якою рухається тінь Місяця по земній поверхні на екваторі під час повного сонячного затемнення, вважайте, що площини сонячної і місячної орбіт збігаються і перпендикулярні до земної осі. Радіус місячної орбіти .

2001 р.

1(150) Відомо, що Ґалілей дійшов висновку про однаковість для всіх тіл прискорення вільного падіння , не кидаючи їх із Пізанської вежі, а зауваживши однаковість часу скочування куль по похилій площині незалежно від їхнього розміру і речовини. Доведіть, що ще справді так, якщо однакове. Чи міг би Ґалілей зробити цей висновок, якби він порівнював час скочування предметів різної форми, наприклад, куль і циліндрів?

2(151). Математичний маятник має масу і довжину нитки .

1. Доведіть, що при малих коливаннях натяг нитки дорівнює

де , - максимальний кут відхилення маятника при .

2. Нехай біля точки підвісу діє механізм, який змінює довжину нитки на величину

Знайдіть середню потужність, яку механізм передає маятникові за період , і закон зміни енергії маятника з часом. Знехтуйте загасанням коливань, зумовленим тертям. При малих кутах

3(152). Космічна станція отримала невелику пробоїну під час зіткнення з постачальним кораблем. Упродовж 8 хвилин тиск у станції змінився від 750 до 675 мм ртутного стовпчика. Оцініть площу дірки, якщо об’єм станції 390 м³ температура всередині - , середня маса молекул повітря , стала Больцмана .

4(153). Гравітаційна енергія тіла чисельно дорівнює роботі потрібна, щоб речовину тіла розсіяти в нескінченно віддалені точки. Знайдіть її для кулі, що має радіус і масу . Вважайте, що при стягуванні речовини з нескінченності й утворенні тіла маса енергія гравітаційного поля перетворюється в енергію спокою цієї маси. Оцініть радіус кулі, що при цьому утворюється (гравітаційний радіус), якщо (маса Землі). Ґравітаційна стала .

5(154). Дифракцію електронів на щілині можна розглядати в механістичній моделі як результат дії на них сили з боку краю щілини. Знайдіть, з якою силою діє на одиницю довжини краю щілини потік електронів концентрацією при їх дифракції на двох щілинах (у цьому випадку електрони розподілені загалом за головними максимумами) залежно від швидкості електронів . Наскільки зміниться внаслідок дифракції тиск електронів на повністю поглинальний екран за щілинами.

Примітка. Кути дифракції малі, тому . Врахуйте лише центральний і перші бокові максимуми, на бокові припадає 0,1 падаючого потоку. Ширина щілини , відстань між краями щілини . Вважайте, що відхилення електронів ліворуч зумовлене лівим краєм щілин, праворуч - правим краєм.

2002

1(155). Вертикальний стрижень, який шарнірно закріплений вниз може вигинатись (але не стискатись) під дією сили (див. рис.) приймаючи форму, яка наближено описується функцією

де - координата точки вздовж вигнутого стрижня, - довжини стрижня, - поперечне відхилення точки вигнутого стрижня від вертикалі. Вважаючи вигин стрижня невеликим, знайдіть амплітуду вигину . Візьміть до уваги, що: енергія формації вигину елемента стрижня завдовжки дорівнює , де - згинаючий момент, - модуль Юнга, - момент інерції поперечного перерізу - швидкість зміни кута нахилу дотичної до стрижня відносно вертикалі; стійкому стану системи відповідає мінімум її потенційної енергії.

2(156). Ідеальний одноатомний газ здійснює циклічний процес, зображений на рисунку (1 - адіабата, 2 - відрізок прямої). Знайдіть ККД циклу при .

3(157). Надпровідне кільце має радіус , площу поперечного перерізу і концентрацію електронів . Кільце помістили в однорідне магнітне поле з індукцією так, що вектор виявився в площині кільця. Знайдіть силу струму в кільці після того, як його повернули на кут 90° так, що вектор став перпендикулярним до площини кільця. Проаналізуйте вплив інерційності електронів на отриманий результат. Коли він є суттєвим? Індуктивність кільця .

4(158). У кювету, яка має форму прямокутного паралелепіпеда, налито рідину (див. рис.). До однієї з бокових стінок кювети прикріплене п’єзоелектричне джерело ультразвуку з частотою . Через кювету пропускають вузький пучок світла з довжиною хвилі . При цьому на екрані, розташованому за кюветою на відстані , виникають три світлових плями, відстань між якими . Знайдіть швидкість звуку в рідині.

5(159). Космонавти під час виведення космічного корабля на орбіту перетнули на деякій висоті тонкий світлий шар (повне відбивання світла в атмосфері). Як за графіком (див. рис.) залежності показника заломлення атмосфери від відстані до центра Землі визначити ?

8 клас

1995

1(1). Умова рівноваги системи зображеної на рисунку в повітрі:

(1)

(2)

Умова рівноваги терезів:

(3)

Тут: , , ,

З рівнянь (1)-(3) маємо:

(4)

де - густина свинцю, - алюмінію, - повітря.

Якщо система знаходиться у вакуумі:

(5)

(6)

(7)

Із рівнянь (5)-(7) отримаймо:

(8)

З рівнянь (4) та (8):

звідси

відрізняється від на 0,02% .

1(2). Оскільки система складається з двох рухомих блоків та неру­хомого, то вона дає чотирикратний виграш сили

Оскільки моменти вертикальних сил відносно осей, що проходять через точки А та В дорівнюють нулеві, то умови рівноваги для стовпа виглядатимуть так:

Вісь А:

звідки

Вісь В:

звідки

1(3). Під час нагрівання рідини в першому випадку:

(1)

У другому випадку

(2)

Розв’язавши систему рівнянь (1) та (2), отримаємо.

4(4). Зобразимо еквівалентне коло:

Оскільки внутрішній опір амперметрів дорівнює нулеві, то різниця напруг між точками А та В дорівнює нулеві, і ми отримаєм для розрахунків таку схему:

Повний опір цього кола:

Тобто струм у колі (показ амперметра А₃)

Через А₁ протікає струм:

тому струм по вітці CD:

а відповідно спад напруги:

Оскільки напруги , то . і . Відповідно струми:

та

Отже,

5(5). Розгляньмо траєкторії поширення пер­ших трьох сигналів.

А - точка вибуху; В - місце розташування гідрофона, , , - часи поширення від­повідних сигналів.

Тоді,

(1)

(2)

Швидкість звуку у воді .

Відповідно

(3-5)

Розв’язавши рівняння (1)-(5), отримаємо:

1996 р.

1(6). Визначимо теплову потужність, підводиться до склянки з навколишнього середовища

де - питома теплота танення льоду; - маса льоду; - час танення.

Якщо забути покласти лід, вода у склянці почне нагріватись на , звідси , де - зміна температури води.

2(7). Літак надзвуковий. За принципом Гюйгенса фронт звукової хвилі матиме вигляд конуса (на рис. ABC), - швидкість звуку у повітрі.

Як бачимо з рисунка, кут визначається так:

звідси

3(8). У пункті А складаємо коло 1 і вимірюємо струм :

У пункті В складаємо коло 2 і вимірюємо :

З рівнянь (1) і (2) одержуємо де . Тут - відстань в місця пошкодження до пункту В.

4(9) На рисунку показане еквівалентне електричне коло

Зауважмо що.

Це означає, що спад напру­ги на опорі та є однако­вий тобто напруга між точ­ками . Тобто через струм . Резистор можна викинути, тоді опір між точ­ками 1 і 4

Повний опір кола дорівнюватиме

Покази амперметра

1997 р.

1(10). Сила , яку прикладають при підніманні відра, визначається з умови рівномірності піднімання

Її значення у нижній точці - максимальне, у верхній - мінімальне

Оскільки вода витікає рівномірно, відро піднімається рівномірно, роботу розрахуймо через середню силу.

2(11). Нехай напруга джерела . Те, що плитка нагрілась до певноъ температури, означає, що вся енергія джерела струму йде в оточуюче середовище, теплообмін з яким пропорційний різниці температур плитки і повітря.

або

звідси

У другому випадку так само.

або

звідси

3(12). У момент відриву від поверхні стола на посудину діють тяжіння і сила тиску .

4(13) Під час танення льоду тиск на дно посудини в першому і другому випадках однаковий, але у другому випадку густина солоної води стане менше, ніж була, завдяки розчиненню чистої води.

звідси

рівень води збільшиться на .

Початкова густина солоної води

- маса чистої води у посудині, - маса солі.

Кінцева густина дорівнює:

тоді

Підставмо у рівняння тисків , звідси

остаточно

5(14). Уведемо позначення подані на схемі, вибравши струм у другому амперметрі довільно.

Напруга між точками 1-3:

звідси

Для точок 1-4: ; для точок 4-3: .

1998

1(15). Система відліку - річка:

- час, через який людина зустріне палицю, після того, як витягне капелюха; відстань між капелюхом і палицею , - час, за який людина добіжить до капелюха від місця кидання палиці.

Система відліку - Земля:

- відстань, яку пробіжить людина від моменту кидання палиці до моменту витягання капелюха

- час, за який людина дійде до місця кидання палиці від моменту витягання капелюха.

Час запізнення

2(16). , , , .

, звідси

3(17).

4(18). Нехай об’єм порожнини . Якщо лід суцільний, то рівень води не зміниться. В нашому випадку маса льоду з порожнинами дорівнює масі суцільного шматка льоду. Якщо лід розтане, речо­вина впаде на дно і займе об’єм , а з суцільного шматка льоду вийшов би об’єм води більший, бо з порожнин вийшов би об’єм

Рівень води знизиться.

5(19). На рівні отвору тиск менший від тиску повітря, тому повітря почне витісняти ртуть: верхню частину догори, а нижню - донизу.

1999

1(20). Нехай: - швидкість ескалатора; - довжина ескалатора; - час одного кроку першого хлопця; - час одного кроку другого хлопця; - час руху першого хлопця по рухомому ескалатору; - час руху другого хлопця по нерухомому ескалатору; - час руху першого хлопця по нерухомому ескалатору. Тоді:

де - кількість сходинок ескалатора.

Складемо рівняння:

Розв’язавши систему рівнянь (1)-(4), отримаємо:

2(21). Тіло рухається рівномірно, це означає, що сили, які діють на кожну кульку, є скомпенсовані.

(1)

(2)

- сила опору що діє на рухому кульку з боку рідини (пропорційна швидкості кульки), - сила натягу нитки, - сила Архімеда, ^_ маса верхньої кульки, - маса алюмінієвої кульки.

У випадку руху вгору маємо:

(3)

- сила опору не змінилась (швидкість не змінилась).

Розв’язавши систему рівнянь (1)-(3), отримаємо:

3(22). Гранична температура пічки визначається тепловим балан­сом: кількість теплоти , що виділяється під час проходження стру­ну в обмотці, має дорівнювати кількості теплота, що віддається довколишньому середовищу . Із закону Ньютона для теплообміну відомо , тобто віддана енергія прямо пропорційна різниці температур тіла і довколишнього середовища.

Для паралельного з’єднання маємо:

(1)

Для послідовного з’єднання:

(2)

- в обох випадках однакове, умови теплообміну однакові. Поділивши (2) на (1), отримаємо:

4(23). 1-й спосіб.

Усі резистори однакові, тому ; тобто потенціал точки А більший від потенціалу точки В.

При замиканні ділянки АВ через неї піде струм.

Це означає, що струм через має зменшитись, відповідно і напруга зменшується, але , звідси випливає, що збільшується.

Струм збільшується, відповідно зростає напруга зменшується напруга .

Висновки. На резисторах , , виділення теплоти зросте, а резистори , , - дещо охолонуть.

ІІ-й спосіб.

Задачу можна розв’язати, розраховуючи електричні кола. У другому випадку, при розрахунку треба скористатися заміною трикутника на зірку (де, враховуючи, що буде ).

Розрахувавши еквівалентне коло, визначимо і . Далі, знаючи ці напруги, треба повернутися до початкового кола

і розрахувати і . Далі робимо висновки.

5(24). Поклавши вудлище на палець, визначимо центр ваги .

Причепивши за кінець вудлища рибину, визначимо точку О₂.

Тоді

звідси

2000

1(25). Як видно з рисунка

C - місце першої зустрічі, D - місце другої зустрічі. За умовою задачі жодні обмеження на швидкості накладати не потрібно.

2(26). Робота сили спричинить зміну кінетичної енергії системи:

звідси

Як видно з рисунка:

тоді

3(27). Нехай - діаметри провідників, тоді:

Температура провідника встановлюється за умови, що уся теплота, яка виділяється в провіднику

буде віддана довколишньому середовищу. закону теплообміну Ньютона ( - коефіцієнт теплообміну, , - відповідно температури провідника й довколишнього середовища - площа бічної поверхні провідника, - час).

1. Розгляньмо послідовне з’єднання провідників. Умова теплової рівноваги:

Поділимо перше рівняння на друге:

Звідси випливає, що

Враховано, що

Отже,

2. Розгляньмо паралельне з’єднання провідників

Поділимо перше рівняння на друге:

звідки

Враховано, що

Отже,

У першому випадку розжарюватиметься тонка дротина, у другому - товста.

4(28). Зобразимо зміну системи на рисунку

1 - початковий стан системи, 2 - стан системи за умови, що весь лід розплавився, 3 - кінцевий стан системи. Зниження рівня води в посудині пов’язане з плавленням льоду при встановленні тепло­вої рівноваги. Визначимо зміну рівня води , за умови, що увесь лід розплавиться. З рис. 1 випливає:

(1)

З рис. 1 і 2:

(2)

Поділимо (2) на (1);

звідси

Це означає, що не весь лід розплавився. Маємо випадок зображений на рис. 3, кінцева температура системи 0° С. Нехай маса льоду, що розплавився. Визначимо

(3)

Врахувавши (1), одержимо:

Поділимо (3) на (1):

отримаємо:

Запишемо рівняння теплового балансу для початкового і кінцевого станів:

5(29). Нехай за час ущільниться лід з ділянки довжиною , тоді розмір ділянки води, що вкрита суцільною кригою .

З рисунка видно, що

2001 р.

1(30). Система відліку – вода

У системі відліку - вода: пліт (П) нерухомий, а катер (К) має швидкість (незалежно від напрямку руху).

Нехай - час руху катера вниз за течією до нижньої точки, - час руху катера догори до зустрічі з плотом. Як видно з рис. 1,

Система відліку – Земля

Повний час руху катера

(1)

- час руху катера за течією, - час руху плоту до зустрічі з катером.

звідси

(2)

Із формул (2) та (1) випливає, що

Отже, .

2(31). За умовою, рівень води не змінюється. Це означає, що об’єм води, яка випарувалась , дорівнює об’єму платини .

звідси

маса води, яка випарувалась,

(1)

Для теплообміну запишемо рівняння теплового балансу:

(2)

де

(3)

Кількість теплоти, що віддала платина, охолоджуючись до

(4)

Кількість теплоти, яку отримала вода, нагріваючись до 100 °С

(5)

Це кількість теплоти, що пішла на випаровування води.

Підставмо (3), (4), (5) у (2) і врахувавши що , отримаємо:

3(32) Запишемо умову рівноваги для куба:

(1)

- сила тиску містка на куб, яка дорівнює силі тиску куба на місток,

(2)

(3)

Це сила Архімеда. Підставмо (2) і (3) у (1) і отримаймо:

(4)

при , де - висота містка, за якої .

Звідси випливає:

Максимальна сила тиску буде при , тобто

Як видно з (4) сила лінійно зале­жить від висоти містка.

За умови , .

4(33). У першому випадку (рис. 1)

У другому випадку (рис. 2)

Прирівнявши (1) та (2), отримаємо:

Підставивши числові значення (для спрощення), отримаєм квадратне рівняння:

Розв’язавши це рівняння, отримаємо: , та

5(34). Зобразимо еквівалентну схему кола.

Розрахуємо це коло.

Розраховуючи коло, ми використали закони послідовного і паралельного з’єднання провідників. Для вузла А маємо:

2002

1(35). Оскільки туристи прибувають на базу одночасно, то кожен з них половину шляху проходить пішки, а половину шляху їде на велосипеді. Всю відстань до бази вони долають за час

Отже, їхня середня швидкість

Велосипед залишається невикористаним упродовж половини часу руху туристів, тобто протягом 2 год 40 хв.

2(36). Тиск води в будь-якій нижній точці кружка має дорівнювати

це - атмосферний тиск, а - висота кружка.

З іншого боку, цей тиск має дорівнювати тискові, обумовлено­му дією сил тяжіння кружка і тиску повітря на кружок, тобто має виконуватися рівність

Отже,

Під час заливання олії в отвір кружку, оскільки густина олії менша за густину дерева, нижній рівень олії не може опуститися нижче горизонтальної площини, яка збігається з нижніми точками кружка. Тому з отвору в кружку олія витіснить лише частину води, а товщина шару води , яка залишилась всередині кружка, мусить задовольняти рівнянню

При цьому глибина занурення кружка у воду змінюватися не може. Очевидно, що водночас зі збільшенням об’єму залитої в кружок олії, рівень води в посудині і кружок будуть підніматися одночасно. Тому для шуканої висоти підйому води можна записати pjвняння

Розв’язуючи спільно всі три одержані рівняння, знайдемо шукану висоту підйому води:

3(37). Лампочка 5 не горітиме, якщо напруга на ній дорівнюватиме нулеві (потенціали точок С і D однакові, рис. 1). Запропоновану схему можна замінити їй еквівалентною (рис. 2).

Зі схеми (рис. 2) видно, що через лампочки 1, 2, 3, 4, 6, 7 струми тектимуть за будь-якої напруги між точками А і В. Оскільки всі лампочки однакові, то напруги на них теж будуть однакові і дорівнюватимуть половині напруги між точками А і В. Тому різниця потенціалів між точками С і D дорівнюватиме нулеві і струм через лампочку 5 не тектиме за будь-яких напруг між точками А і В.

4(38). Вважаймо, що потенціальна енергію стрижня на дні моря дорівнює нулеві. У початковому положенні на палубі теплохода механічна енергія стрижня є лише потенціальна і дорівнює

на морському дні в момент приземлення зі швидкістю у вертикальному положенні його механічна енергія дорівнює

Зміна механічної енергії дорівнює роботі сили Архімеда:

Враховуючи, що під час занурення у воду, сила Архімеда змінюється за лінійним законом,

де - об’єм стрижня.

Отже, маємо рівняння

Звідси,

5(39). З умови задачі випливає, що клеми В і D з’єднані провідником. Оскільки , опір , то і можуть бути одержані при послідовному з’єднанні резисторів опорами 2 Ом і З Ом, увімкненими між клемами АВ і АС, або AD і АС відповідно.

Отже, всередині скриньки знаходяться резистори опором 2 Ом і 3 Ом, з’єднані між собою так, як це зображено на рисунку.

9 клас

1995

1(40). Вважаймо, що канат та взаємодія канату з підлогою є не пружними.

Сила тиску канат на підлогу:

(1)

де

(2)

— сила, з якою нерухома частина канату діє на підлогу.

Запишемо другий закон Ньютона для частини канату , яка гальмує за час вісь у:

звідси

або

(3)

Підставмо (3) та (2) в (1):

залежність сили тиску канату на підлогу від часу при , де - час, за який канат впаде.

Після падіння канату на підлогу сила тиску постійна і рівна

2(41). Для визначення швидкості мотузки в момент початку вільного падіння запишемо закон збереження енергії

Врахувавши, що

маємо

(1)

Центр мас мотузки торкнеться землі, коли т. А торкнеться землі.

звідси

3(42). Якщо тіло знаходиться за межами Землі, тоді сила взаємодії Землею визначається законом всесвітнього тяжіння

при (1)

Коли тіло помістити всередину Землі то воно взаємодіятиме лише з земною кулею радіуса , оскільки равітаційне поле зовнішніх шарів рівне нулеві (це легко показати за допомогою теореми Остроградського-Гауса).

(при ).

Землю вважаємо однорідною.

4(43). Для кожної ділянки запишемо рівняння теплового балансу

(1)

(2)

(3)

- потужність нагрівника. Порівнюючи рівняння (1) та (3) отримаємо .

Врахувавши велику теплоємність речовин в посудині, порів­но теплоємністю посудини, останньою знехтуймо. Тоді з рівняння (1):

З рівняння (2) отримаємо: .

5(44). Струм в лінії і через навантаження однаковий.

звідси

У другому випадку втрати потужності лінії у 100 разів менші:

звідси

Потужність на навантаженні постійна:

звідси - опір навантаження треба збільшити у 100 разів.

1996

1(45). Очевидно, що максимальна швидкість всюдихода має бути меншою від першої космічної швидкості для астероїда. Розрахуймо першу космічну швидкість з другого закону Ньютона для руху по

колу

звідси

тоді мінімальний час поїздки

Не об’їде.

2(46). У системі відліку, пов’язаній з II стрічкою, деталі, що потрапляють на II стрічку, мають відносну швидкість (див. рис.). Тоді у першому випадку відносна швидкість кут , визначається , звідси .

Якщо ширина II стрічки , то деталь до зупинки проходить відстань (гальмівний шлях).

За законом збереження енергії , звідси .

У другому випадку відносна швидкість , . Визначимо гальмівний шлях деталі у другому випадку , звідси .

Визначимо проекцію на вісь OX: , але , тоді

- це означає, що деталі вилітатимуть за стрічку II.

3(47). Складемо коло I: (див. рис.).

Складемо коло 2:

4(48). Якщо швидкість катера і корабля сталі, то і відносна швидкість стала. Щоб вони зустрілись, треба, щоб відносна швидкість корабля проходила через точку (див. рис. 1) перебування катера. Очевидно, що тоді відстань АВ має дорівнювати ВС, тобто (коли т. А, т. В, т. С розташовані по один бік відносно О), або (т. О - між т. А та т. В) чи (т. О - між т. В та т. С).

Підставляючи дані з умови, отримуємо, що корабель не зустрінеться з катером (див. рис. 2).

Запишемо теорему косинусів для трикутників О12, О13, О14:

(1)

(2)

(3)

З (1)

(4)

З (1) і (2)

(5)

З (5)

(6)

Тепер (4) і (6) підставмо в (3), отримаймо:

або

Аналогічно , , .

5(49). Для абсолютно непружного удару запишемо (рис. 1) закон збереження імпульсу:

звідки

Тоді швидкість другої шайби . Друга шайба наздоганяє першу з відносною швидкістю

Зіткнення відбудеться через час

Щоб визначити швидкість шайб (рис. 2) після зіткнення, заниємо закони збереження імпульсу й енергії:

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримаємо швидкості тіл після зіткнення:

1997 р.

1(50). Якщо електровоз іде по середній вітці і весь час знаходиться на одній прямій з двома іншими, то його можна розглядати як центр час системи двох частинок однакової маси

2(51). 1. Систему позначень вказано на рисунку.

ККД системи

звідси

2,8 А - максимальний струм, на який повинен бути розрахований реостат. Напруга на ділянці х буде

Опір другої ділянки потенціометра

- опір потенціометра.

2.

Проаналізуймо цей вираз. i - фіксовані величини, - максимальне при , .

при схему ввімкнення зображено на рисунку.

3(52). 1. Стіл гладкий - тертя відсутнє - запишемо закон збереження енергії для початкового моменту і моменту часу, коли пруж­не деформована (х - початкова деформація)

звідси

Швидкість системи - це швидкість її центра мас

Перейдемо у систему відліку центра мас (вона інерціальна), в ній, після відриву другого тіла від опори, тіла здійснюватимуть коливання відносно центра мас системи. У початковий момент

швидкості тіл:

Із закону збереження енергії визначимо амплітуду коливань системи

Максимальна відстань між брусками

- довжина недеформованої пружини.

2. У другому випадку, провівши аналогічні розрахунки, отримаймо:

Зміна швидкості руху системи:

Відношення амплітуд коливань системи:

Відношення максимальних відстаней між брусками

де - довжина недеформованої пружини, яку на жаль автори задачі забули задати.

4(53). Очевидно, що нормальна складова швидкості кубика під час удару об стінку не змінює свій модуль, а тільки напрям. Для ви­браної системи відліку запише­мо другий закон Ньютона

по осі OY:

по осі ОХ:

де - середня сила нормальної реакції стінки, - середня сила тертя.

Із рисунка

при

при

5(54). Для переходу супутника з однієї колової орбіти (4R) на іншу (2R) необхідно використати природний шлях еліптичну орбіту 1 -2, що дотикається до колових орбіт, двічі короткочасно включаючи дви­гун у точках дотику. В т. 1 треба зменшити модуль швидкості від до , не міняючи напряму. В т. 2 необхідно зменшити модуль швидкості від до , не міняючи напряму.

- швидкість супутника на першій (4R) коловій орбіті, яку знайдемо з закону Ньютона

звідси

- швидкість на другій (2R) коловій орбіті.

Визначимо швидкості і в апо і пери точках еліптичної орбіти, застосувавши закон збереження моменту імпульсу:

Закон збереження енергії

1998 p.

1(55).

1. Протиріччя немає. Центр мас не завжди співпадає з другою кулькою.

2. Як видно з рисунка

3. Із рисунка

2(56). За відсутності зовнішніх дій центр мас системи не змінює свого положення і нехай знаходиться на висоті . Якщо людина опускається вниз, аеростат підіймається догори, так, що центр мас залишиться на висоті .

Із рівняння центра мас визначимо переміщення аеростата .

звідки

довжина каната

3(57). Розгляньмо рисунок

- сила тиску стовпа води висотою , - сила тиску стовпа води висотою , - сила тиску води на пластину при відсутності води у трубці (заповнимо трубку рідинами з густинами та стовпом висотою . Тоді врахувавши рідину з густиною у трубці, на пластину діє сила Архімеда, а сила дії рідини з густиною дорівнюватиме . Але сума рідин з густиною та означає відсутність рідини. Тобто, коли в трубці немає рідини, пластину діє сила ).

Пластина, спливаючи, намагається обертатись навколо осі, що проходить через точку О. Запишемо умову рівноваги для обертання пластини навколо осі О, врахувавши, що максимальному рівню води у трубці відповідає переміщення сили реакції трубки з усьому периметру в точку О.

Вісь О:

4(58).

Із першої схеми:

Із першої та другої схеми:

звідси

Із другої схеми:

Звідси

5(59).

Як відомо з математики

Потужність зменшиться у разів

, при ; , при , або .

1999

1(60).

1. Якщо , звідси - снаряд не потратить.

2. Якщо , то маємо:

По Ох:

звідси

або

По Оу (для того, щоб снаряд не влучив):

Із (1) та (2): , або .

2(61). Розгляньмо удар, для чого запишемо другий закон ньютона вигляді , для тіла .

Ох:

(1)

Оу:

(2)

де - середня сила реакції опори під час удару.

Із (1) і (2) отримаємо

(3)

Для дошки маємо:

Ох:

Звідси

(4)

Тіло ковзатиме по дошці за умови, що:

тобто

Перейдемо в неінерціальну систему відліку дошки, що рухаться під дією . Прискорення цієї системи .

По Ох:

(1)

за такої мінімальної швидкості брусок досягне кінця дошки.

3(62). - атмосферний тиск на Землі, - на Марсі. Враховуючи, що розміри атмосфери незначні у порівняно з розмірами планет, запишемо:

, - відповідно маса атмосфери Землі та Марса.

Прискорення вільного падіння планет:

Поділимо (1) на (2), враховуючи (3), отримаймо:

4(63). Зобразимо це електричне коло зручніше:

Як видно, це збалансований місток Уітстона, тому струм через резистор дорівнює нулеві.

5(64). Про природу та точки прикладання сил і (див. 9 кл. 1998 р. задачу 3(57)).

І. Можливі два випадки відпадання клина:

Клин відпадає, обертаючись навколо осі О₁, тоді з умови рівноваги моментів відносно осі О₁ маємо:

Звідси випливає

Клин відпаде при .

Клин відпадає без обертання, тоді необхідна умова:

звідки

У випадку 2 клин відпадає при меншій висоті стовпа рідини. Отже клин відпадає при

ІІ. Якщо клин замінити на дерев’яний, то він випливатиме, обертаючись навколо осі О₂, тоді:

звідси

2000 p.

1(65). Перейдемо в систему відліку, що обертається з кутовою швидкістю . Тоді, точка А ролика нерухома, швидкість точки

швидкість точки С:

Кутова швидкість ролика:

У системі відліку, пов’язаній із Землею, кутова швидкість ролика:

швидкість поступального руху осі ролика:

1. Рух буде тільки обертальним, якщо , тобто

2. Рух буде тільки поступальним, якщо , тобто

2(66). Нехай - довжина каналу, з якого ущільнюється крига за час .

Тоді

(1)

(2)

З (1) і (2) випливає, що

(3)

Для інтервалу часу для криги, що зупиняється запишемо другий закон Ньютона:

3(67). Побудуймо графіки швидкості потягів (див. рис.).

, - час рівноприскореного руху потягів, - момент зустрічі, - повний час руху потягів.

За умовою задачі

звідси

(1)

для моменту часу

(2)

Враховуючи (1) і (2), отримаємо:

(3)

Для моменту часу маємо:

(4)

(5)

Для моменту часу маємо:

Розв’язуючи систему рівнянь (1-8), отримаймо:

Тоді

4(68). Побудуймо зображення дзеркала у дзеркалі буде на дзеркало зображення дзеркала у дзеркалі - буде нове дзеркало . Побудуймо зображення дзеркала у дзеркалі - буде дзеркало і т. д. Отримаємо систему дзеркал , , , , , , , , , , , . Побудуймо зображення точки В у дзеркалі в (В₁), потім зображення В₂ у дзеркалі (або ) В₃. Потім зображення В₃ у дзеркалі (або ) отримаємо зображення В₄. В₄ може знаходитись лише в зонах I, II, III або IV, лише в цих зонах знаходяться зображення, по одному разу отримані від кожного дзеркала, і лише в зони можна потрапити, по одному разу, пройшовши через кожне дзеркало. Отже, в задачі є чотири розв’язки. Напрямки перших променів з точки А йдуть у точки В₄ у зонах I, II, III, IV.

5(69). У скриньці знаходиться подільник напруги з рівними опорами .

2001

1(70). Запишемо умову рівноваги для санок, вважаючи що вони починають ковзати:

Оу:

Оx:

(1)

Запишемо умову рівноваги для людини:

Оу:

Звідси випливає:

Оx:

(2)

З (1) випливає

(3)

З (2) випливає

(4)

Поділивши (3) на (4), отримаймо:

Кут граничний, тобто за людина зможе зрушити санки з місця.

2(71). На маховик, крім зовнішніх сил і , діє сила тертя .

Розкладемо силу тертя на складові уздовж вісі і перпендикулярно до осі, тоді

Силу визначимо з умови рівноваги маховика (обертання коло осі відсутнє), момент сили дорівнює моменту сили :

Звідси

Силу визначимо з умови рівноваги маховика уздовж ОХ (мінімальне значення відповідає рівномірному рухові маховика):

Вирази (3) і (2) підставмо в (1):

звідси

3(72). З рис. 1:

(1)

(2)

(3)

(4)

Можливі два випадки:

1. Обидва бруски ковзають (сили реакції горизонтальної поверхні на обидва бруски рівні: , і сили тертя ковзання однакові).

2. Другий брусок перекидається (обертається) навколо осі О₁.

Розгляньмо перший випадок. Нехай на другий брусок діє сила така, що якщо вона прикладена у т. А (рис. 2) брусок починає обертатись відносно осі О₁. Якщо сила прикладена хоч трохи нижче т. А,

брусок ковзає. Це означає, що

тоді умова обертання відносно О₁:

звідки

При

(5)

бруски можуть тільки ковзати. Умова ковзання з рис. 1:

(6)

Силу знайдемо з умови рівноваги першого бруска відносно О₂.

(7)

врахувавши, що

отримаймо

Підставмо (2), (3) і (4) у (9):

(10)

Підставмо (10) у (6):

(11)

Звідси

(12)

Очевидно, що перший брусок не перекидається назад, якщо

(13)

Бруски будуть у рівновазі, якщо , тобто

Якщо точка контакту брусків має координату , тоді:

звідси

Розгляньмо другий випадок. Якщо , другий брусок обертається відносно O₁.

врахуймо (10), тоді

звідси

а

Тоді умова рівноваги брусків

якщо

4(73). Див. 8 кл. 2001 р. задача 3(32).

5(74). За умови підключення контактів до протилежних вершин дротяного куба еквівалента схема має вигляд (дротинка на схемі - ребро куба):

1. Якщо струм задано на ділянках АС або DB, тоді струм у всіх ребрах АС і DB однаковий і дорівнюватиме , а на ділянці CD струм у всіх ребрах удвічі менший.

2. Якщо струм задано в ребрі на ділянці CD, тоді струм у ребрах на ділянках АС і DB дорівнюватиме , а на ділянці CD струм у всіх ребрах дорівнює .

2002 р.

1(75). Якщо плита почне рухатися з прискоренням, то рівноважне Положення нитки, на якій підвішено вантаж буде відхилене від Вертикалі на кут , який можна знайти з умови:

Однак, враховуючи, що початкове по­ложення нитки (вертикальне) було нерівноважне, то вантаж буде коливатися. Ми матимемо випадок, подібний на коливання математичного маятника, у якого під час коливань збільшується дов­жина підвісу, а отже, і період коливань. Важливо, що під час таких коливань сила натягу нитки від фази, у якій перебуває тіло масою .

Враховуючи такі особливості руху і те, що точний розв'язок задачі не може бути описаний елементарними функціями, ми пропонуємо оцінити шукану віддаль, використовуючи енергетичний підхід.

Початкова енергія системи йде на виконання руху проти сили тертя:

де — вертикальна складова сили натягу нитки, на якій підвісили вантаж на ділянці шляху , яка з наведених вище міркувать змінюється.

Якщо для оцінки взяти , то отримаємо:

звідси

Пропонуємо також Вашій увазі розв’язок, запропонований олімпіади. Він теж, враховуючи особливості руху цієї системи одним із наближень шуканої віддалі.

Коли вантаж опуститься на плиту, вона рухатиметься з прискоренням і пройде відстань . Потім почне зупинятися під дією сили тертя по поверхні. Розгляньмо послідовно ці два етапи: перший - до падіння вантажу і другий - після падіння.

Сила , яка діє на вісь блока, напрямлена під кутом 45 градусів по горизонталі і за значенням дорівнює , - сила натягу нитки. Розкладемо її на вертикальну і го­ризонтальну складові . Осі координат оберемо так, як зображено на рис.

Спроектувавши сили, які діють на вантаж, на вісь Оу, дістанемо

Сили, які діють на плиту, спроектуємо на вісь Ох:

де

отже,

Із рисунка видно, що , тоді, розв’язуючи систему рівнянь

Отримаймо

Рух стає можливим при , тобто

Швидкість плити до моменту часу , коли вантаж доторкнеться до її поверхні , де .

2) Шлях пройдений після моменту :

Прискорення , визначимо, знаючи силу тертя на шляху :

і в той же час

отже

Повний шлях пройдений плитою,

2(76). Під час зменшення довжини нитки на довжина всієї підвіски зменшиться на , отже центр тяжіння підвіски підніметься на .

Робота сили натягу нитки повинна, очевидно, дорівнювати зміні потенціальної енергії системи:

звідси

3(77). Під час переміщення поршня на нього діють сили тиску повітря

і води

де - густина води, - зміна висоти рівня води в посудині, - середній тиск води на поршень.

Оскільки поршень підігнаний досить щільно, то між ними і правою стінкою посудини знаходиться вакуум. Щоб виконати робота була мінімальною, до поршня необхідно прикладати силу, яка лише незначною мірою перевищує силу тиску води і повітрі

Як випливає з формули (3), діюча сила змінюється під час переміщення поршня, тому виконана нею робота знаходиться взагалі кажучи, з допомогою інтегрування. Однак перший доданок виразу (3) сталий (тому роботу цієї сили знайти неважко) робота іншої складової сили в (3) дорівнює зміні потенціальної енергії води , знайти яку також неважко

Отже

де - зміщення поршня.

Зміщення поршня знайдемо з умови сталості об’єму води

звідки

Отже

Знайдемо зміну потенціальної енергії води за формулою

Отже, повна робота

Зауважмо, що для не дуже високих посудин дру­гий доданок значно перевищує перший, тобто основна робота ви­конується проти сили атмосферного тиску.

4(78). Див. 8 кл. 2002 р. задача 3(37).

5(79). Див. 8 кл. 2002 р. задача 5(39).

9 клас

1995

1(80). Цикл Карно складається з двох адіабатичних процесів та двох ізотер­мічних (див. рис.). Під час адіабат­ного процесу обміну теплотою немає ентропія залишається сталою , а під час ізотермічного - стала є температура .

У процесі 2-3 робоче тіло отримує теплоту , а у процесі 4-1 робоче тіло віддає холодильнику теплоту .

ККД

Розгляньмо малі зміни в цьому виразі почергово та на

Відношення

за абсолютною величиною є більшим за одиницю, то це означає що зміна температури сильніше впливає на ККД.

2(81). Оскільки в умові до задачі не вказано до якої пластини (від'ємно зарядженої чи додатно) дано відстань , слід розглянути

два випадки:

1. - відстань до додатно зарядженої пластини конденсатора. Всередині конденсатора є такі електричні поля (див. рис.):

- поле створене зарядами пластин конденсатора, та поле створене зарядом пластини . Напруга між обкладками конденсатора:

Звідси

На пластину діє поле конденсатора .

2. - відстань до від’ємно зарядженої пластини конденсатора

Звідси

На пластину діє поле конденсатора .

3(82). Сила струму в провіднику

(1)

де - заряд електрона, - середня швидкість впорядкованому руху електронів, - концентрація вільних електронів.

Але сила струму

(2)

отже,

(3)

Вважаймо, що електрони при розсіянні на домішках повністю втрачають швидкість впорядкованого руху. Тоді:

(4)

З (3) та (4):

(5)

Дещо строгіші міркування дають:

(6)

Хоча і виразом (5) іноді теж користуються.

4(83). Вважаймо витікання газу ламінарним, оскільки отвір є невеликий.

Розгляньмо струмінь течії обмежений перерізами А та В (див. рис.). На нього діє сила тиску повітря в апараті . За деякий час струмінь займе положення А'В'. Зміну енергії трубки розглядатимемо, як зміну енергії газу в об’ємі на енергію газу в об'єму .

Запишемо другий закон термодинаміки:

звідси

(1)

- робота сили тиску; - зміна внутрішньої енергії газу в струмені (внутрішня енергія газу в об’ємі дорівнює нулю, оскільки , а отже і ); - кінетична енергія газу в об’ємі (кінетична енергія газу в об’ємі дорівнює нулю).

Врахувавши, що з (1) отримаємо:

(2)

Для оцінки вважаймо, що температура в космічному апараті постійна. Швидкість витікання теж постійна (при тиск газу пропорційний густині).

За час маса газу в апараті зменшиться:

Але

тоді:

(3)

Проінтегруймо вираз (3) з урахуванням того, що густина змінюється від , до :

звідси

5(84). Розгляньмо модель такої установки. На турбіну, що обертається з кутовою швидкістю і мас радіус попадає струмінь води з швидкістю

(1)

Цей струмінь створює силу , яку визна­чимо скориставшись другим законом Нью­тона:

(2)

де - маса води, що попа­дає на турбіну за час ; - зміна швид­кості цієї води.

З (1) маємо

Тоді потужність турбіни: — враховуючи, що маса води, яка поступає на турбіну за одиницю часу, дорівнює , визначимо ККД турбіни:

Для визначення максимального ККД, візьмемо похідну від __ по і прирівняймо її до нуля.

звідси

Тобто максимально можливий ККД:

1996 р.

1(85).

І. Стрибкоподібна зміна тиску:

Нехай , тоді:

(1)

тобто робота виконана над газом пішла на зміну його внутрішній енергії .

Врахуймо:

(2)

Із рівнянь (1) і (2) випливає:

Врахуймо, що

звідки

(3)

де — показник адіабати.

Підставивши (3) в (2), отримаймо:

де — може бути як додатне, так і від’ємне.

ІІ. Повільна зміна тиску (процес адіабатний):

(1)

рівняння адіабати:

(2)

Оскільки, ні в (1), ні в (2) ми не використовували умову збільшення тиску чи зменшення, то незалежно від того , чи рівняння не зміняться.

З (1) і (2) випливає:

Отже, в першому випадку температура, що встановиться після зміни тиску (позначимо її ) дорівнюватиме:

У другому випадку (позначимо її ):

З’ясуймо, яка з температур за­лежно від зміни тиску буде більшою, а яка меншою.

Позначимо: , , тоді

Отже, як видно із графіка при вище буде температура у другому випадку, при - вищою буде температура в першому випадку.