Обзор алгоритмов кластеризации Алгоритмы иерархической кластеризации
Среди алгоритмов иерархической кластеризации выделяются два основных типа: восходящие и нисходящие алгоритмы. Нисходящие алгоритмы работают по принципу «сверху-вниз»: в начале, все объекты помещаются в один кластер, который затем разбивается на все более мелкие кластеры. Более распространены восходящие алгоритмы, которые в начале работы помещают каждый объект в отдельный кластер, а затем объединяют кластеры во все более крупные, пока все объекты выборки не будут содержаться в одном кластере. Таким образом, строится система вложенных разбиений. Результаты таких алгоритмов обычно представляют в виде дерева – дендрограммы.
Для вычисления расстояний между кластерами чаще все пользуются двумя расстояниями: одиночной связью или полной связью.
К недостатку иерархических алгоритмов можно отнести систему полных разбиений, которая может являться излишней в контексте решаемой задачи.
Алгоритмы квадратичной ошибки
Задачу кластеризации можно рассматривать как построение оптимального разбиения объектов на группы. При этом оптимальность может быть определена как требование минимизации среднеквадратической ошибки разбиения:
где cj —
«центр масс» кластера j (точка
со средними значениями характеристик
для данного кластера).
Алгоритмы квадратичной ошибки относятся к типу плоских алгоритмов. Самым распространенным алгоритмом этой категории является метод k-средних. Этот алгоритм строит заданное число кластеров, расположенных как можно дальше друг от друга. Работа алгоритма делится на несколько этапов:
Случайно выбрать k точек, являющихся начальными «центрами масс» кластеров.
Отнести каждый объект к кластеру с ближайшим «центром масс».
Пересчитать «центры масс» кластеров согласно их текущему составу.
Если критерий остановки алгоритма не удовлетворен, вернуться к п. 2.
В качестве критерия остановки работы алгоритма обычно выбирают минимальное изменение среднеквадратической ошибки. Так же возможно останавливать работу алгоритма, если на шаге 2 не было объектов, переместившихся из кластера в кластер.
К недостаткам данного алгоритма можно отнести необходимость задавать количество кластеров для разбиения.
Нечеткие алгоритмы
Наиболее популярным алгоритмом нечеткой кластеризации является алгоритм c-средних (c-means). Он представляет собой модификацию метода k-средних. Шаги работы алгоритма:
Выбрать начальное нечеткое разбиение n объектов на k кластеров путем выбора матрицы принадлежности U размера n x k.
Используя матрицу U, найти значение критерия нечеткой ошибки:
,
где ck —
«центр масс» нечеткого кластера k:
.
Перегруппировать объекты с целью уменьшения этого значения критерия нечеткой ошибки.
Возвращаться в п. 2 до тех пор, пока изменения матрицы U не станут незначительными.
Этот алгоритм может не подойти, если заранее неизвестно число кластеров, либо необходимо однозначно отнести каждый объект к одному кластеру.
Алгоритмы, основанные на теории графов
Суть таких алгоритмов заключается в том, что выборка объектов представляется в виде графа G=(V, E), вершинам которого соответствуют объекты, а ребра имеют вес, равный «расстоянию» между объектами. Достоинством графовых алгоритмов кластеризации являются наглядность, относительная простота реализации и возможность внесения различных усовершенствований, основанные на геометрических соображениях. Основными алгоритмам являются алгоритм выделения связных компонент, алгоритм построения минимального покрывающего (остовного) дерева и алгоритм послойной кластеризации.