Локальная теорема Муавра—Лапласа.

Если число незави­симых испытаний n неограниченно возрастает, а вероятность появления собы­тия в каждом из испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, то веро­ятность появления ровно k событий в n испытаниях приближенно равна

P_n(k) = φ(x)/ x =(k-nk)/ 0<p<1. (3.31)

Пример 1. Пусть вероятность брака в массовом производстве деталей равна 0.1. Какова вероятность того, что из 400 наугад выбранных деталей 50 окажутся бракованными?

о Решение. Ниже приведены результаты решения этого примера с использованием описанных ранее встроенных функций системы Mathcad. Ис­комая вероятность вычислена в этой задаче по формуле

Бернулли Р_n (k)=С_n^kр^k(1-р)^n-k

Пуас­сона P{ξ=k}= (μ)^k*e^-μ/k! или Р_n(k) → π_λ(k) = (λ^ke^-λ)/k!

и Муавра—Лапласа P_n(k) = (1/ )* (1/ )*exp(-x²/2),

x = (k-np)/ .

По условиям задачи n - 400, k = 50, p = 0.1. Для получения точного реше­ния нужно воспользоваться формулой Бернулли, вычисления по которой для наших исходных данных без применения средств вычислительной техники весьма громоздки. Поэтому вероятность Pn вычисляется с помощью функ­-

18

ции dbinom. Решения по формуле Пуассона и по теореме Муавра— Лапласа найдены с применением функций dpois и dnorm. Таким образом, получены: точное решение (Pb = 0.016) и два приближенных — с использованием формулы Пуасcона (Pois = 0.018) и теоремы Муавра—Лапласа (Р = 0.017).

Интегральная теорема Лапласа

Рассматриваемая ниже теорема определяет приближенные выражения для:

- вероятности появления события А не более k₀ раз;

- вероятности появления события А не менее k₁ раз и не более k₂ раз в се-. рии из n независимых испытаний.

В последнем случае будем для краткости говорить, что k находится в диа­пазоне от k₁ до k₂ раз.

Интегральная теорема Лапласа имеет те же исходные предположения, ко­торые были введены ранее при формулировке теоремы Муавра — Лапласа. Ос­новные соотношения интегральной теоремы Лапласа приводятся здесь без до­казательства.

В интегральной теореме Лапласа используется вспомогательная функция Ф(х) — интеграл от функции (3.30)

Функция Ф(х) носит название функции Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа.

Вероятность P_n(k k₀) того, что число k появлений события А будет не более k₀ раз, приближенно равна

(3.33)

а вероятность P_n(k₁, k₂) того, что число k появлений события А будет находить­ся в диапазоне от k₁ до k₂, приближенно равна

P_n(k₁, k₂) ~ Φ(x₂) - Φ(x₁), x₂ =(k₂-np)/ , x₁ =(k₁-np)/ (3.34)

Вероятность P_n(k k₀) - это кумулятивная вероят­ность (3.8). Поэтому формула (3.33), наряду с возможностью использования формулы Бернулли (3.3), формул (3.28) и (3.31), дает еще один способ вычис­ления кумулятивной вероятности.

Таблицы составлены для 0 < χ < 5.0. При χ > 5.0 принимают Ф(х) = 0.5. При отрицательных значениях аргумента функции Лапласа учитывается ее не­четность, т. е. Ф(-х) = - Φ(χ).

19

20

АНАЛИЗ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Анализ биномиального распределения удобно проводить в среде Mathcad с использованием специальных встроенных функций. В разд. 3.1 уже использо­вались некоторые из них. Перечислим эти функции, относящиеся к биноми­альному закону распределения:

dbinom (k,n,p) — выводит значения вероятностей (5.35);

pbinom (k,n,p) — выводит значения кумулятивных вероятностей (3.8);

qbinom (Α,n,ρ) — выводит значение квантили порядка Л;

rbinom (m,n,ρ) — выводит массив (вектор-столбец) из т значений незави­симых случайных чисел, распределенных по биномиальному закону с пара­метрами п и р.

На рис. 5.5 приведены кривые вероятностей (5.35) и соответствующих ку­мулятивных вероятностей (3.8), полученные в среде Mathcad для двух сово­купностей параметров биномиального распределения (п =15, p = 0.2; n = 100, p = 0.2), для которых значения математических ожиданий равны 3 и 20 соот­ветственно. На рис. 5.5 использованы те же обозначения, которые применя­лись в примере, рассмотренном в разд. 3.1 (см. рис. 3.2). Вероятности (5.35) на рис. 5.5 увеличены вдвое с целью обеспечения возможности представления всех результатов на одном графике (здесь x=k).

D(x,n) := dbinom(x,n,0.2) P(x,n) := pbinom(x,n,0.2)

k:=0.. 50 y_k:=D(k,15) yl_k := D(k,100)

f(k) := dnorm(k ,20,4) z_k := P(k, 15) zl_k := P(k, 100)

\/_V?-i.V

ΑΓ^Τ, ΛΙ

Рис. 5.5. Характеристики биномиального закона распределения

Анализируя результаты, представленные на рис. 3.2 и 5.5, можно заметить, что с ростом числа испытаний n биномиальное распределение по форме при­ближается к нормальному распределению. Для иллюстрации этого факта на графике (см. рис. 5.5) приведена плотность нормального распределения f(k) с параметрами, равными числовым характеристикам второго варианта биноми­ального распределения (математическое ожидание равно 20, дисперсия равна 16). Эта плотность распределения (отмечена «крестиками» на рис. 5.5) практи­чески не отличается от кривой, соответствующей вероятностям (5.35) для зна­чений n = 100, p = 0.2. Отмеченная близость биномиального распределения при больших значениях n к соответствующему нормальному закону распреде­ления служит косвенным основанием применения асимптотических выраже­ний (3.30)—(3.34), следующих из локальной теоремы Муавра—Лапласа и ин­тегральной теоремы Лапласа (см. разд. 3.4).