Обратная фильтрация

Имеем: ~ Полезный сигнал существенно преобладает над помехой (A_c / A_п >> 1). ~ Исходное поле вида (15): f(t) =x(t) + n(t), где x(t)  полезный сигнал, а n(t)  помеха.

Известно, что полезный сигнал и помеха имеют близкий спектральный состав (т.е. если x(t)  X(), то W_п () = ²X()²)

Найти: оператор h(t) или комплексную частотную характеристику фильтра (H()  h(t)), разделяющего полезный сигнал и помеху.

Ранее было показано, что из общих соображений выгодно иметь (23) H() = ½X(w)½/ W_п (w), откуда следует (24) H(w) = X^(w) / W_п (w).

Тогда, в соответствии с исходными условиями, комплексная частотная характеристика может быть представлена как:

H(w) = = = (42), а полезный сигнал на выходе фильтра: Y(w) = X(w)H(w) = X(w) = 1 / ²

Из этого следует, что спектр полезного сигнала на выходе такого фильтра равномерен и не зависит от спектра входного сигнала, т.е. в момент прихода сигнала все спектральные составляющие суммируются синфазно, формируя на выходе фильтра -импульс: Y()  (t-t₀). Отсюда и происходит название фильтра, т.к. он «восстанавливает» форму импульса исходного сигнала, который при использовании импульсного источника сейсмических колебаний отождествляется с -импульсом.

Входному сигналу x_i(t) = a_i s₀ (t  t_0i) соответствует выходной сигнал y_i (t) = , т.е. амплитуда выходного сигнала уменьшается в ² раз, что предопределяет применимость обратного фильтра лишь при выполнении условия (A_c / A_п >> 1).

Помеха на выходе обратного фильтра может быть приближенно (с точностью до множителя 1/²) представлена как:

W_p (w) = W_п (w)  ½H(w)½² = ²X()² = 1 / ²,

т.е. при случайном характере помехи на входе она преобразуется в случайную с равномерным спектром («белый шум»). При детерминированной помехе она, как и полезный сигнал трансформируется в -импульс – если невозможно разделение регулярных сигнала и помехи по частотному признаку оптимальный обратный фильтр разделяет их по времени регистрации.

Однако фильтр с комплексной частотной характеристикой вида (42) практически нереализуем, поскольку в области частот, где X(w)  0 частотная характеристика H(w)  . Во избежание неограниченного возрастания H(w) выражение (42) модифицируют – с точностью до постоянного множителя 1/b²:

H(w) = (43)

где  - стабилизатор.

Проблема выбора стабилизатора рационально решается при рассмотрении обратного фильтра как фильтра воспроизведения. Полагая, что желаемая форма импульса полезного сигнала на выходе фильтра есть s(t) = (t), преобразуем уравнение (36):

r_f,s (k) = b_f (k-j)

Левая часть его может быть представлена как r_f,s (k) = r_x,s (k) + r_n,s (k) = = r_x,s (k), если помеха и желаемый сигнал не коррелированны (независимы).

С другой стороны ФВК r_x,s (t) = (t)  x(-t) – как свертка x(t) c единичным импульсом. Тогда уравнение (36) примет вид:

x(-k) = b_f (k-j) = [b_x (k-j) + b_n (k-j)] (44) или в частотной области: X^*() = H()[W_x () + W_n ()], откуда следует (с точностью до множителя 1/²: H() = , (45) т.е. в качестве стабилизатора выгодно использовать осредненный спектр мощности помехи W_n ().

Нахождение оператора обратного фильтра h(k) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений вида (41), в которой вместо значений автокорреляционной функции b_x (k) следует подставить значения полезного сигнала, обращенного во времени x(-k).

Использование обратной фильтрации.

Исходный сигнал импульсного источника можно достаточно корректно аппроксимировать -импульсом.

При распространении в среде он подвергается низкочастотной фильтрации (конволюции) и преобразуется в волновой пакет (весьма часто по форме он близок к синусоидальному сигналу, ограниченному экспоненциальной огибающей).

Обратная фильтрация преобразует волновой пакет в сигнал, близкий к -им­пульсу (деконволюция), что можно использовать для:

• повышения временной разрешенности записи;

• расширение спектра деконвольвированного сигнала до спектра -импульса («отбеливание» спектра) и последующая полосовая фильтрация выравнивает спектр сигналов в записях по времени и по удалению (корректирующая частотная фильтрация).