Тема 2 «Производная»

Задание 7.

Найти производную заданной функции

Вариант	А	Б	В	Г
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Алгоритм решения:

Используем следующие правила и формулы нахождения производной функции

1. , С - константа 2. 3. , С – константа 4. 5.	6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. 13. 14.	15. 16. 17. 18.

Образец решения

а)

б)

Задание 8.

Вычислить значение производной в заданной точке х₀

Вариант	А	Б
1	х0 = 4	х0 = 1
2	х0 = 1	х0 = 1
3	х0 = 4	х0 = 1
4	х0 = 1	х0 = 1
5	х0 = 4	х0 = 1
6	х0 = 1	х0 = 1
7	х0 = 1	х0 = 1
8	х0 = 4	х0 = 1
9	х0 = 1	х0 = 1
10	х0 = 4	х0 = 1

Алгоритм решения:

Пользуясь правилами и формулами, находим производную заданной функции.

В найденную производную подставляем заданное значение х₀.

Образец решения:

х₀ = 1

Ответ:

Задание 9.

Найти производную заданной функции, пользуясь правилом нахождения производной произведения

Вариант	А	Б	В	Г
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Алгоритм решения:

Правило нахождения производной произведения имеет вид

Образец решения:

1)

2)

Задание 10.

Найти производную заданной функции, пользуясь правилом производной частного

Вариант	А	Б	В	Г
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Алгоритм решения:

Правило нахождения производной частного имеет вид

Образец решения:

1)

2)

Задание 11.

Составить уравнение касательной к графику функции у=f(х) в точке х₀.

Вариант
1	х0 = 2
2	х0 = 1
3	х0 = 2
4	х0 = 2
5	х0 = 1
6	х0 = 1
7	х0 = 2
8	х0 = 1
9	х0 = 2
10	х0 = 2

Алгоритм решения:

Уравнение касательной к графику функции в точке х₀ имеет вид:

Для того чтобы составить уравнение касательно нужно:

1. Найти значение функции в точке х₀, т.е. найти

2. Найти производную заданной функции

3. Найти значение производной в заданной точке х₀, т.е. найти

4. Подставить найденные значения в уравнение касательной и упростить полученное уравнение

Образец решения:

х₀ = 1

1. Находим значение функции в точке х₀=1

2. Находим производную заданной функции

3. Находим значение производной в заданной точке х₀=1

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной

Ответ: уравнение касательной имеет вид

Задание 12.

Материальная точка движется по закону S(t) (t – время в секундах, S – расстояние в метрах). Найти скорость движения точки и ускорение в момент времени t, если:

Вариант		Вариант
1	t0 = 1 с	6	t0 = 1 с
2	t0 = 1 с	7	t0 = 2 с
3	t0 = 1 с	8	t0 = 1 с
4	t0 = 1 с	9	t0 = 1 с
5	t0 = 1 с	10	t0 = 1 с

Алгоритм решения:

Если точка движется по закону S = S(t) (t – время в секундах, S – расстояние в метрах), то скорость движения точки равна производной заданной функции , а ускорение в момент времени t равно производной скорости

Образец решения:

t₀ = 2 с

Скорость движения точки в момент времени t равна

В момент времени t₀ = 2 с скорость движения равна

м/с

Ускорение точки в момент времени t равно

В момент времени t₀=1 с ускорение точки равно

м/с²

Ответ: V = 44 м/с, а = 21 м/с²

Задание 13.

Исследовать функцию на возрастание, убывание и найти экстремумы функции

Вариант	А	Б
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Алгоритм решения:

Алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы:

1. Найти производную .

2. Найти стационарные и критические точки. Для этого нужно приравнять найденную производную к нулю.

3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Сделать выводы о монотонности функции:

   • если на промежутке Х производная , то функция возрастает на этом промежутке;

   • если на промежутке Х производная , то функция убывает на этом промежутке

5. Сделать выводы о точках экстремума:

   • если при переходе через точку х₀ производная меняет знак с «+» на «–», то точка х₀ – точка максимума;

   • если при переходе через точку х₀ производная меняет знак с «–» на «+», то точка х₀ – точка минимума.

Образец решения:

1. Находим производную .

2. Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение.

, отсюда

х₁ = 0 х₂ = 8

3. О

   max

   тмечаем на числовой прямой полученные точки и определяем знаки производной на получившихся промежутках

0

Х

–

+

Знак

min

+

8

4. Функция возрастает на промежутках , убывает в промежутке (0; 8).

5. Точка х₁ = 0 – точка максимума, у_max = у(0) = 0³ – 12∙0² + 10 = 10

Точка х₂ = 8 – точка минимума, у_min = у(8) = 8³ – 12∙8² + 10 = -246

Задание 14.

Найти наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном отрезке

Вариант	А	Б
1	на отрезке [-1; 5]	на отрезке [-1; 3]
2	на отрезке [-4; 2]	на отрезке [-6; 0]
3	на отрезке [0; 4]	на отрезке [3; 6]
4	на отрезке [-1; 3]	на отрезке [1; 5]
5	на отрезке [1; 7]	на отрезке [-2; 3]
6	на отрезке [-2; 5]	на отрезке [-6; 0]
7	на отрезке [-1; 5]	на отрезке [3; 5]
8	на отрезке [-5; 1]	на отрезке [0; 4]
9	на отрезке [-4; 1]	на отрезке [0; 3]
10	на отрезке [0; 6]	на отрезке [-6; -3]

Образец решения

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0; 2]

1. Находим стационарные точки, принадлежащие заданному отрезку. Для этого находим производную заданной функции и приравниваем её к нулю.

Из найденных стационарных точек только точка х₂ = 1 принадлежит заданному промежутку

2. Находим значения производной в найденной стационарной точке

у(1) = 1³ – 9∙1² + 15∙1 – 3 = 1 – 9 + 15 – 3 = 4

3. Находим значения функции на концах заданного промежутка

у(0) = 0³ – 9∙0² + 15∙0 – 3 = -3

у(2) = 2³ – 9∙2² + 15∙2 – 3 = 8 – 36 + 30 – 3 = -1

4. Из найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее

у_max = у(1) = 4 у_min = у(0) = -3

Ответ: у_max = 4 у_min = -3

Задание 15.

Прямоугольный лист жести имеет длину А см и ширину В см. Из этого листа требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была максимальной.

Вариант	А	В	Вариант	А	В
1	48	30	6	32	60
2	60	32	7	60	28
3	32	42	8	9	24
4	28	60	9	30	48
5	24	9	10	42	32

О бразец решения:

Прямоугольный лист жести имеет длину

А=64 см и ширину В=40 см.

Пусть х – сторона вырезаемого квадрата.

Тогда длина коробки будет равна (64 – 2х)

ширина коробки равна (40 – 2х)

высота коробки равна х.

Вместимость коробки (т.е. объем) равна произведению длины, ширины и высоты коробки

Найдем наибольшее значение функции на отрезке [0; 20], так как х>0 и 40 – 2х >0.

Находим производную функции и приравниваем её к нулю.

Из найденных стационарных точек только точка х₂ = 8 принадлежит промежутку [0; 20].

0

Х

–

+

Знак

max

8

20

В точке х =8 функция имеет максимальное значение. Значит, сторона вырезаемого квадрата равна 8 см. Длина коробки равна 64 – 2∙8 = 48 см, ширина коробки 40 – 2∙8 = 24 см.

При этом вместимость коробки будет иметь максимальное значение

у_max = 48 ∙ 24 ∙ 8 = 9216 см³.

Ответ: сторона квадрата равна 8 см.

18