4. Пример обработки результатов многократных измерений.

В табл.1 приведены 100 независимых числовых значений результата измерения напряжения «U»цифровым вольтметром, каждое из которых повторилось m раз. Проверить гипотезу о нормальности распределения вероятности результатов измерения. Записать результат в принятой форме, исходя из уровня доверительной вероятности 0,95 . Представить два варианта доверительного интервала – для нормального и для неизвестного закона распределения вероятности среднего арифметического значения измеряемого напряжения.

Таблица 1

U,В	8,30	8,35	8,40	8,45	8,50	8,55	8.60	8,65	8,70	8,75	8,80	8,85	8,90	8,95
m	1	2	4	5	8	10	18	17	12	9	7	6	0	1

Решение

4.1. Определяем среднее арифметическое и стандартное отклонение для данных таблицы 1:

,

4.2. С помощью правила «трех сигм» проверяем наличие или отсутствие промахов.

Таким образом, ни один из результатов не выходит за границы интервала , следовательно, с вероятностью 0,9973 гипотеза об отсутствии грубых погрешностей принимается.

4.3. Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о виде закона распределения вероятности.

Для того, чтобы построить гистограмму, необходимо результаты отдельных измерений расположить в так называемый вариационный ряд по возрастанию их численных значений (в рассматриваемом примере эта процедура уже проделана и представлена таблицей 1).

Участок оси абсцисс, на котором располагается вариационный ряд значений физической величины, разбивается на k одинаковых интервалов U. При выборе числа интервалов следует придерживаться следующих рекомендаций:

Число измерений «n»	Число интервалов «k»
40 - 100	7 – 9
100 - 500	8 – 12
500 - 1000	10 – 16
1000 - 10000	12 - 22

Тогда:

Полученное значение округляется до возможно меньшего числа значащих цифр для удобства последующих действий. В нашем случае, если принять k=11, то:

В

Начало первого интервала выбирается таким образом, чтобы это значение оказалось меньше, чем минимальный результат вариационного ряда. Последний интервал должен покрывать максимальное значение ряда. Выберем для нашего примера начало первого интервала в точке 8,275, тогда конец последнего (14-го) интервала окажется в точке 8,975.

Затем для каждого интервала подсчитывается количество результатов m_i, попавших в данный интервал и определяется

Если в интервал попадает меньше пяти наблюдений, то такие интервалы объединяют с соседними, соответственно изменяется и параметр U. Так, в нашем примере объединяются три первых и три последних интервала, их ширина становится равной 0,15 В. Общее число интервалов становится равным 10.

Результаты производимых вычислений заносятся в первую половину таблицы 2, а затем строится сама гистограмма (рис.3)

При построении гистограммы её масштаб выбирается таким образом, чтобы высота относилась к основанию примерно как 5 к 8.

Из вида гистограммы на рис.3 можно сделать предположение о том, что вероятность результата измерения подчиняется нормальному закону. Проверим правдивость этой гипотезы.

4.4. Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона.

Как следует из раздела 3.2.3, для расчета критерия Пирсона необходимо знать эмпирические частоты m_i/n и теоретические вероятности Р_i для каждого интервала k_i.

Если выдвинута гипотеза о нормальности распределения, то для расчета вероятностей используется функция Лапласа (раздел 2.1):

В данном случае значения U₁ и U₂ соответствуют началу и концу интервала. Для каждого из этих значений нужно рассчитать относительный доверительный интервал t (формула (8)), а затем из таблиц функции Лапласа, приведенных в приложении 1, найти соответствующие значения этой функции Ф(t₁) и Ф(t₂). При этом следует иметь в виду, что конец предыдущего интервала является началом последующего.

Так, например, для первого интервала:

Ф(t₁) = -0,4974 Ф(t₂) = -0,4463

Р₁= -0,4463 - (- 0,4974) = 0,0511.

Найдя таким образом значения Р_i для каждого интервала k_i, заполним соответствующие ячейки таблицы 2, а затем рассчитаем значение ² – критерия для каждого интервала и, наконец, суммарное значение ²:

² = 2,996

Определим табличное (критическое) значение , задавшись доверительной вероятностью 0,95 и вычислив по формуле r = k – 3 число степеней свободы:

r = 10 – 3 = 7

= 14,07 (приложение 2)

Таким образом, с вероятностью 0,95 гипотеза о нормальности распределения вероятности результата измерения напряжения принимается.

4.5. В тех же координатах, что и гистограмма, следует построить теоретическую кривую плотности вероятности. Для этого рассчитываются значения плотности вероятности для середины каждого интервала р_i = P_i/U_i и откладываются как ординаты из середин соответствующих интервалов; полученные точки соединяют плавной кривой, симметричной относительно математического ожидания (среднего арифметического значения) (рис.3).

4.6. Представление результата в виде доверительного интервала.

Для этого определим стандартное отклонение среднего арифметического по формуле (12):

Как следует из раздела 3.2.4, закон распределения вероятности для среднего арифметического считаем нормальным (что следует из нормальности распределения самой измеряемой величины), тогда доверительный интервал определяется по выражению (13) при доверительной вероятности 0,95. Этому значению соответствует аргумент функции Лаплапса t = 1,96.

8,63 – 1,960,013  U  8,63 + 1,960,013

8,6  U  8,66

В случае, если закон распределения вероятности для среднего арифметического считается неизвестным, то относительный доверительный интервал рассчитывается в соответствии с неравенством Чебышева (14):

, t = 4,47

8,63 – 4,470,013  U  8,63 + 4,470,013

8,57  U  8,69

Как видно из сравнения результатов, неизвестность закона распределения вероятности приводит к расширению доверительного интервала, то есть к увеличению дефицита измерительной информации.

Таблица 2

i	Интервалы		mi		ti-1	ti	Фi-1	Фi	Pi
	Ui-1	Ui
1	8,275	8,325	1	0,47	-2,795	-1,614	-0,4974	-0,4463	0,0511	0,7
2	8,325	8,375	2
3	8,375	8,425	4
4	8,425	8,475	5	1,0	-1,614	-1,22	-0,4463	-0,3888	0,0575	0,098
5	8,475	8,525	8	1,6	-1,22	-0,827	-0,3888	-0,2967	0,0921	0,159
6	8,525	8,575	10	2	-0,827	-0,433	-0,2967	-0,1664	0,1303	0,705
7	8,575	8,625	18	3,6	-0,433	-0,04	-0,1664	-0,016	0,1504	0,583
8	8,625	8,675	17	3,4	-0,04	0,354	-0,016	0,1368	0,1528	0,194
9	8,675	8,725	12	2,4	0,354	0,748	0,1368	0,2734	0,1366	0,202
10	8,725	8,775	9	1,8	0,748	1,142	0,2734	0,3729	0,0995	0,091
11	8,775	8,825	7	1,4	1,142	1,535	0,3729	0,437	0,0641	0,054
12	8,825	8,875	6	0,47	1,535	2,717	0,437	0,4965	0,0595	0,21
13	8,875	8,925	0
14	8,925	8,975	1

t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)
0,00	0,0000	0,32	0,1255	0,64	0,2389	0,96	0,3315	1,28	0,3997	1,60	0,4452	1,92	0,4726	2,48	0,4934
0,01	0,0040	0,33	0,1293	0,65	0,2422	0,97	0,3340	1,29	0,4015	1,61	0,4463	1,93	0,4732	2,50	0,4938
0,02	0,0080	0,34	0,1331	0,66	0,2454	0,98	0,3365	1,30	0,4032	1,62	0,4474	1,94	0,4738	2,52	0,4941
0,03	0,0120	0,35	0,1368	0,67	0,2486	0,99	0,3389	1,31	0,4049	1,63	0,4484	1,95	0,4744	2,54	0,4945
0,04	0,0160	0,36	0,1406	0,68	0,2517	1,0	0,3413	1,32	0,4066	1,64	0,4495	1,96	0,4750	2,56	0,4948
0,05	0,0199	0,37	0,1443	0,69	0,2549	1,01	0,3438	1,33	0,4082	1,65	0,4505	1,97	0,4756	2,58	0,4951
0,06	0,0239	0,38	0,1480	0,70	0,2580	1,02	0,3461	1,34	0,4099	1,66	0,4515	1,98	0,4761	2,60	0,4953
0,07	0,0279	0,39	0,1517	0,71	0,2611	1,03	0,3485	1,35	0,4115	1,67	0,4525	1,99	0,4767	2,62	0,4956
0,08	0,0319	0,40	0,1554	0,72	0,2642	1,04	0,3508	1,36	0,4131	1,68	0,4535	2,00	0,4772	2,64	0,4959
0,09	0,0359	0,41	0,1591	0,73	0,2673	1,05	0,3531	1,37	0,4147	1,69	0,4545	2,02	0,4783	2,66	0,4961
0,10	0,0398	0,42	0,1628	0,74	0,2703	1,06	0,3554	1,38	0,4162	1,70	0,4554	2,04	0,4793	2,68	0,4963
0,11	0,0438	0,43	0,1664	0,75	0,2734	1,07	0,3577	1,39	0,4177	1,71	0,4564	2,06	0,4803	2,70	0,4965
0,12	0,0478	0,44	0,1700	0,76	0,2764	1,08	0,3599	1,40	0,4192	1,72	0,4573	2,08	0,4812	2,72	0,4967
0,13	0,0517	0,45	0,1736	0,77	0,2794	1,09	0,3621	1,41	0,4207	1,73	0,4582	2,10	0,4821	2,74	0,4969
0,14	0,0557	0,46	0,1772	0,78	0,2823	1,10	0,3641	1,42	0,4222	1,74	0,4591	2,12	0,4830	2,76	0,4971
0,15	0,0596	0,47	0,1808	0,79	0,2852	1,11	0,3665	1,43	0,4236	1,75	0,4599	2,14	0,4838	2,78	0,4973
0,16	0,0636	0,48	0,1844	0,80	0,2881	1,12	0,3686	1,44	0,4251	1,76	0,4608	2,16	0,4846	2,80	0,4974
0,17	0,0675	0,49	0,1879	0,81	0,2910	1,13	0,3708	1,45	0,4265	1,77	0,4616	2,18	0,4854	2,82	0,4976
0,18	0,0714	0,50	0,1915	0,82	0,2939	1,14	0,3729	1,46	0,4279	1,78	0,4625	2,20	0,4861	2,84	0,4977
0,19	0,0753	0,51	0,1950	0,83	0,2967	1,15	0,3749	1,47	0,4292	1,79	0,4633	2,22	0,4868	2,86	0,4979
0,20	0,0793	0,52	0,1985	0,84	0,2995	1,16	0,3770	1,48	0,4306	1,80	0,4641	2,24	0,4875	2,88	0,4980
0,21	0,0832	0,53	0,2019	0,85	0,3023	1,17	0,3790	1,49	0,4319	1,81	0,4649	2,26	0,4881	2,90	0,4981
0,22	0,0871	0,54	0,2054	0,86	0,3051	1,18	0,3810	1,50	0,4332	1,82	0,4656	2,28	0,4887	2,92	0,4982
0,23	0,0910	0,55	0,2088	0,87	0,3078	1,19	0,3830	1,51	0,4345	1,83	0,4664	2,30	0,4893	2,94	0,4984
0,24	0,0948	0,56	0,2123	0,88	0,3106	1,20	0,3849	1,52	0,4357	1,84	0,4671	2,32	0,4898	2,96	0,4985
0,25	0,0987	0,57	0,2157	0,89	0,3133	1,21	0,3869	1,53	0,4370	1,85	0,4678	2,34	0,4904	2,98	0,4986
0,26	0,1026	0,58	0,2190	0,90	0,3159	1,22	0,3883	1,54	0,4382	1,86	0,4686	2,36	0,4909	3,00	0,49865
0,27	0,1064	0,59	0,2224	0,91	0,3186	1,23	0,3907	1,55	0,4394	1,87	0,4693	2,38	0,4913	3,20	0,49931
0,28	0,1103	0,60	0,2257	0,92	0,3212	1,24	0,3925	1,56	0,4406	1,88	0,4699	2,40	0,4918	3,40	0,49966
0,29	0,1141	0,61	0,2291	0,93	0,3238	1,25	0,3944	1,57	0,4418	1,89	0,4706	2,42	0,4922	3,60	0,499841
0,30	0,1179	0,62	0,2324	0,94	0,3264	1,26	0,3962	1,58	0,4429	1,90	0,4713	2,44	0,4927	3,80	0,499928
0,31	0,1217	0,63	0,2357	0,95	0,3289	1,27	0,3980	1,59	0,4441	1,91	0,4719	2,46	0,4931	4,00	0,499968
														4,50	0,499997
														5,00	0,499998

Таблица значений функции Лапласа Ф(t)