2.7.6. Линейное уравнение n-го порядка

Линейное уравнение n-го порядка имеет вид

где a0(t), …, an(t) — непрерывные функции для tÎ(a, b), при­чем а0(t)¹0. Соответствующее этому уравнению однородное урав­нение имеет вид

Эти уравнения путем введения вспомогательных функций

можно свести соответственно к системам уравнений

или в векторной форме,

Пусть начальные условия этой системы имеют вид

Эта система имеет единственное решение

Для нахождения частного решения ф(t) данного уравнения можно использовать метод вариации произвольных постоянных. При этом система алгебраических уравнений для нахождения сi'(t) имеет следующий вид:

Определитель этой системы есть определитель Вронского для линейно независимой системы решений x1 ,…, xn, поэтому W(t)¹0, и данная система имеет единственное решение. Интегри­руя полученные значения для c'i(t), найдем ci(t) и тогда искомое решение

Решение x(t) исходного уравнения, удовлетворяющее заданным условиям, найдется по формуле Коши

где

где ci(t) определяются из системы уравнений

Определитель этой системы представляет собой определитель Вронского фундаментальной системы решений x1, …, xn и поэтому не равен нулю. Эта система имеет единственное реше­ние c1(t), …, cn(t). Следовательно, решение x1(t, t) определяется единственным образом.

2.7.7. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

(5)

Его решение будем искать в виде y=ekx. Тогда y’=kekx, y’’=k2ekx, …, y(n)=knekx. Подставим это в исходное дифференциальное уравнение и получим так называемое характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (5):

knekx+…+a2k2ekx+a1kekx+a0ekx=0

или, разделив это уравнение на ekx, так как он ни при каких x не равен нулю, получаем:

kn+…+a2k2+a1k+a0=0

Решив это уравнение относительно k, мы получим n корней, которые могут быть как действительными, так и мнимыми. В зависимости от вида корней характеристического уравнения мы будем иметь различные виды решения дифференциального уравнения:

1. Некоторые ki, …, kj из всего множества корней характеристического уравнения – действительные и различные числа. Тогда каждому km из этого множества будет соответствовать решение в виде: ym=cmekmx.

2. Некоторые ki,…, k2j – комплексные и различные. Тогда каждой паре km;m+1=am±bmi будет соответствовать решение ym=cmeamxcos(bmx); ym+1=eamxsin(bmx).

3. Среди решений характеристического уравнения есть корень ki кратности m. Ему будут соответствовать решения: yi=ciekix, yi+1=xci+1ekix, …, yi+m=xm-1ci+mekix.

4. Среди решений характеристического уравнения есть 2 комплексных корня ki;i+1=ai±bii кратности m. Им будут соответствовать решения yi=cieaixcos(bix); yi+1=ci+1eaixsin(bix); yi+2=xci+2eaixcos(bix) ; yi+3=xci+3eaixsin(bix) ; … ; yi+m=x2m-1cieaixcos(bix); yi+m=x2m-1 ´ ´ci+1eaixsin(bix).

Однако, как было сказано выше, совокупность всех решений {y(x)} образует линейное пространство размерности n, так как решения этой системы являются линейно-независимыми и образуют базис. Это значит, что линейная комбинация решений линейного дифференциального уравнения также будет являться решением. Следовательно, общее решение данного линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (5) с постоянными коэффициентами можно представить как линейную комбинацию решений, соответствующих каждому корню (или паре корней) характеристического уравнения.