5.2. Создание неевклидовой геометрии привело к пересмотру взглядов на аксиоматический метод

С чего начинались исследования в области неевклидовой геометрии Лобачевского, Бояи и Гаусса? С попыток доказать, что следствия из отрицания пятого постулата Евклида приведут к противоречию, и пятый постулат будет доказан. Вместо противоречия перед ними вставало величественное здание неевклидовой геометрии, возникали новые, интересные и парадоксальные теоремы. Развивая их, можно было идти вперед и вперед, видимого противоречия не ощущалось. Но может быть, противоречие запрятано глубже? Так появилась геометрия Лобачевского.

С открытием неевклидовых геометрий идея аксиом как очевидных утверждений была отвергнута. Она способствовала осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Отказ от абсолютной истинности аксиом привел к ряду проблем. Пока под аксиомами подразумевали принципы объективной истины, непротиворечивость системы была гарантирована. Корректная дедукция из истинных посылок порождает только истинные следствия, а две истинные пропозиции не могут противоречить друг другу. Но когда снят вопрос об истинности и ложности исходных положений, как можно исключить (даже при максимально корректной дедукции) появление противоречий? Например, в теории множеств Кантора оказалось много внутренних антиномий. Также крушение потерпела «формалистическая» программа Гильберта. Другая проблема – это проблема полноты. Можно ли поручиться, что выбранные для определенного метода исчисления аксиомы обладают доказательной силой для всех пропозиций? Где гарантии того, что не существует вполне истинных положений, которые недоказуемы в рамках данной группы аксиом?

Помимо упомянутых проблем когерентности и полноты есть еще проблема независимости аксиом. Откуда известно, что некая аксиома дедуктивно не получена из комплекса других аксиом той же или иной системы? Эти три проблемы когерентности, полноты и независимости были затушеваны в классической геометрии. Однако с открытиями Лобачевского и Римана они встали со всей остротой. Особенно острой стала проблема когерентности (согласованности), ибо в формальной системе разрыв связи означает крах системы (из нее можно выводить все что угодно, включая отрицание аксиом). Кроме того, доказательства полноты и независимости невозможны без доказательств когерентности. В XX веке ученые (например, Давид Гильберт) попытаются решить эти проблемы. Но Курт Гёдель похоронит позднее не одну надежду на скорое разрешение этих проблем (если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула – теорема Геделя о неполноте).

В общем, возникло много проблем с аксиоматическим методом. Поэтому в последние десятилетия по мере развития моделей теории аксиоматический метод стал в почти обязательном порядке дополняться теоретико-модельным.

5.3. Неевклидова геометрия побудила некоторых ученых к созданию неклассической логики

Открытие неевклидовой геометрии подвигло некоторых ученых к созданию неаристотелевой логики. Помимо привычной логики в ХХ веке были созданы многозначные, парапротиворечивые, многомерные и иные неклассические логики. Неклассическая логика - группа формальных систем, существенно отличающихся от классических логик путём различных вариаций законов и правил (например, логики, отменяющие закон исключенного третьего, меняющие таблицы истинности и т. д.). Благодаря этим вариациям возможно построение различных моделей логических выводов и логической истины.