3. Общие принципы и методы механики

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ

Задание Д−10. Применение принципа Даламбера

к определению реакций связей движущейся

механической системы

Определить динамические реакции внешних связей механической системы:

а) в произвольный момент времени − для вариантов 4, 5, 10, 12−14, 16−18, 21−30 (рис. 47−51);

б) в момент времени − для вариантов 1, 8, 9, 11, 20;

в) в тот момент времени, когда угол поворота − для вариантов 2, 3, 6, 7;

г) в положении, показанном на чертеже, − для вариантов 15 и 19.

На схемах (рис. 47−51) плоскость хОу (хАу) горизонтальна, плоскость yOz (yAz) вертикальна. Необходимые для решения данные приведены в табл. 9, в которой − угловая скорость, и − угол поворота и угловая скорость в начальный момент времени.

Поскольку в предлагаемых вариантах задания рассматриваются случаи как равномерного, так и неравномерного вращения системы, приведем примеры выполнения задания для таких случаев.

Пример 1 выполнения задания (рис. 52). Дано: кг; м, ; ; рад/с.

Найти динамическую реакцию шарнира О вращающегося диска в момент времени, соответствующий повороту диска на угол .

Решение. Рассмотрим диск, вращающийся вокруг горизонтальной неподвижной оси , как объект исследования, на который действуют следующие внешние силы: сила тяжести и составляющие искомой реакции шарнира О. Для определения реакции шарнира воспользуемся прин­ципом Даламбера и добавим к внешним силам, приложенным к диску, силы инерции, которые приведем к центру масс С .

Силы инерции диска, как тела, вращающегося вокруг непод-

Рис. 47

Рис. 48

Рис. 49

Рис. 50

Рис. 51

Рис. 52

вижной оси, перпендикулярной его плоскости материальной симмет-

рии и не проходящей через центр масс С, приводятся к главному вектору , приложенному в центре масс С , и главному моменту

относительно центральной оси, параллельной оси вращения.

Главный вектор сил инерции вращающегося диска определяется

по фор­муле

,

где m − масса диска, а − ускорение его центра масс С.

Главный вектор сил инерции целесообразно представить в виде следующей геометрической суммы:

,

где − центробежная составляющая главного вектора сил инерции, которая направлена противоположно центростремительному ускорению и модуль которой определяется по формуле

; (1)

− вращательная составляющая главного вектора сил инерции, направленная противоположно вращательному ускорению и модуль которой определяется по формуле

. (2)

При этом угловое ускорение направляем в соответствии с направлением момента силы тяжести диска относительно оси вращения.

Главный момент сил инерции направлен противоположно угловому ускорению диска и по модулю равен

.

Здесь − момент инерции диска относительно центральной оси, параллельной оси вращения.

Следовательно,

. (3)

Внешние силы и силы инерции диска составляют плоскую систему сил и должны удовлетворять следующим трем кинетостатическим уравнениям, вытекающим из принципа Даламбера:

; (4)

; (5)

. . (6)

Подставляя в последнее уравнение выражения (2) и (3), получим

.

Отсюда определяем угловое ускорение :

. (7)

Для определения угловой скорости диска, учтя противоположность направлений и (рис. 58, б), представим выражение (7) в виде

.

Далее , умножив левую и правую части этого уравнения на дифференциал :

,

перейдем к переменным и :

. (8)

Интегрируя дифференциальное уравнение (8) в заданных пределах, получим:

, откуда и

. (9)

При найденных значениях и из равенств (1) и (2) для получим

Н;

Н.

Тогда для момента времени, соответствующего повороту диска на угол , при заданных исходных данных из кинетостатических

уравнений (4) и (5) определим искомые динамические реакции:

Н;

Н.

Ответ: Н ; Н .

Пример 2 выполнения задания. Дано: кг; кг; рад/с ; м; . Схема системы и необходимые размеры приведены на рис. 53, а. Найти динамические реакции подпятника А и подшипника В, а также пружины KD. Поперечными размерами однородного ломаного стержня и массой пружины пренебречь.

Решение. Рассматриваемая механическая система, состоящая из ломаного стержня и невесомого вертикального вала, равно­мерно вращается вокруг неподвижной оси . Система находится под действием следующих внешних сил : сил тяжести , частей 1 и 2 стержня, со­ставляющих реакции подпятника А и реакции подшипника В.

Для определения реакций подшипника и подпятника воспользуемся принципом Даламбера, добавив к внешним силам силы инерции частей стержня и составив соответствующие кинетостатические уравнения.

Приведем силы инерции частей стержня, равномерно вращающегося вокруг вертикальной неподвижной оси , к простейшему виду. Для этого рассмотрим элементарную массу длины части 1 стержня (рис. 53, в). Сила инерции элементарной массы направлена противоположно ее ускорению Поскольку при равномерном вращении стержня это ускорение является центростремительным, сила инерции направлена по горизонтали от оси вращения. Модуль этой силы инерции

.

Так как стержень является однородным , то ,

где − масса единицы длины стержня, и тогда

.

Таким образом, силы инерции точек части 1 стержня представляют собой систему параллельных сил, которая приводится к равнодействующей , равной их главному вектору и, следовательно,

,

где − ускорение центра масс этой части стержня:

.

Тогда модуль равнодействующей сил инерции

.

Линию действия равнодействующей можно определить, найдя зависимость интенсивности этих сил от текущей координаты элементарной длины рассматриваемой части стержня, и построив эпюру .

При этом , т. е. интенсивность пропорциональна координате и, следовательно, эпюра распределенных сил инерции представляет собой треугольник, а линия действия равнодействующей параллельна этим силам и проходит через центр тяжести площади эпюры на расстоянии от точки О (рис. 53, б).

Силы инерции вертикальной части 2 стержня, совершающей криволинейное поступательное движение, приводятся к равнодействующей , которая определяется аналогично :

;

модуль этой равнодействующей

Рис. 53

Интенсивность распределенных сил инерции части 2 стержня

,

поэтому эпюра этих сил представляет собой прямоугольник, а линия действия их равнодействующей проходит через центр тяжести площади этой эпюры, и , следовательно, через центр масс рассматриваемой части стержня (рис. 53, б).

Приложенные внешние силы и силы инерции образуют плоскую уравновешенную систему сил. Составляя для этой системы сил согласно принципу Даламбера три уравнения равновесия, получим:

; (10)

; (11)

; . (12)

С учетом исходных данных находим

Н;

Н;

м;

м;

м;

м

Из уравнения (12) получим

Н кН.

Тогда из уравнений (10) и (11) следует

Н кН.

Н кН.

Для определения силы упругости пружины в качестве объекта исследования рассмотрим ломаный стержень , к которому приложены следующие внешние силы: силы тяжести , частей 1 и 2 стержня, составляющие реакции шарнира О , силы инерции и , а также искомая сила упругости растянутой пружины (рис. 53, г). На основании принципа Даламбера составим уравнение моментов перечисленных сил относительно точки О :

,

где .

Отсюда

Н кН.

Ответ: кН; кН; кН; кН.

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

И ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ СТАТИКИ

Задание Д-11. Применение принципа

возможных перемещений к исследованию

равновесия механической системы

Схемы находящихся в равновесии механизмов показаны на рис. 54−58, а необходимые данные приведены в табл. 10.

Применяя принцип возможных перемещений и пренебрегая сила­ми сопротивления, определить величину, указанную в предпоследнем столбце табл. 10.

Примечание. Механизмы в вариантах 3, 6, 10, 14, 16, 18, 19, 25 и 30 располо­жены в вертикальной плоскости, а остальные — в горизонтальной.

Пример выполнения задания (рис. 59). Дано: Н, с=100Н/см; см; см; см;

Определить значение момента , уравновешивающего находящийся в горизонтальной плоскости механизм в данном положении, если известно, что пружина растянута на величину см.

Решение. Рассматрива­емый механизм (рис. 59) находится

в равновесии под действием следующих активных силовых факторов: силы и пары сил с моментом _{, а также сил тяжести звеньев механизма. Силу упругости пружины как реакцию неидеальной связи условно переводим в разряд активных сил и изображаем на расчетной схеме. Остальные наложенные на механизм связи являются идеальными и поэтому их реакции на схеме не показываются.}

Составим уравнение работ, выражающее принцип возможных пе­ремещений:

или (1)

где − модуль возможного перемещения точки приложения активной силы ; − угол между векторами и

Сообщим рассматриваемой механической системе любое возможное перемещение, допускаемое наложенными на нее связями, например, такое, при котором кривошип ОА совершит поворот вокруг точки О по ходу часовой стрелки на угол . При этом звено АВ повернется на угол вокруг своего мгновенного центра скоростей Р, а звено ВС − на угол вокруг точки . Модули возможных перемещений точек В и С приложения сил и обзначим и . Тогда уравнение работ (1) примет следующий вид:

. (2)

При составлении уравнения (2) учтено, что возможные работы сил тяжести звеньев механизма равны нулю, поскольку эти силы перпендикулярны возможным перемещениям их точек приложения.

Для определения момента M в уравнении (2) возможные перемещения и необходимо выразить через . Из рис. 59 яс-но, что ;

Рис. 54

Рис. 55

Рис. 56

Рис. 57

Рис. 58

Рис. 59

тогда

.

Так как , то .

Сила упругости пружины пропорциональна ее деформации: . Подставив в уравнение работ (2) выражение силы упругости и выражения для возможных перемещений и , получим:

,

откуда

Н·м.

Ответ: кН·м.

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА – ЛАГРАНЖА И ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ