§ 24. Поперечні коливання струни. Рівняння гіперболічного типу

Розглянемо деякі фізичні задачі, які приводять до рівнянь в частинних похідних. Перша така задача – про рівняння коливань струни.

Нехай струна, тобто натягнута пружна нитка, розташована вздовж вісі Ох. Будемо вважати її однорідною з лінійною густиною , абсолютно гнучкою, пружною, туго натягнутою, а коливання – малі, плоскі і поперечні. Абсолютна гнучкість означає, що струна не працює на згин, тому сила натягу в довільній точці струни направлена завжди по дотичній до профілю струни. Припущення про пружність дає змогу застосовувати закон Гука: зміна сили натягування пропорційна зміні її довжини. Термін “малі коливання” означає, що відхилення точок струни від положення рівноваги мале порівняно з її довжиною, а нахил струни (тангенс кута нахилу) малий порівняно з одиницею. При плоских поперечних коливаннях струна весь час залишається в одній площині (назвемо її ) і кожна точка струни, яка має в положенні рівноваги абсцису , зберігає ту ж абсцису в процесі коливання; ордината цієї ж точки змінюється з часом, тобто - цю функцію і потрібно знайти. Для цього складемо диференціальне рівняння, якому задовольняє ця функція.

Р

озглянемо ділянку струни з абсцисами і на кінцях. Запишемо другий закон Ньютона для цієї ділянки. Позначимо сили натягу в точках і через та , а кути нахилу дотичної до вісі абсцис через та . Оскільки проекція прискорення на вісь дорівнює 0, то з другого закону Ньютона отримаємо в горизонтальній проекції , , звідки

(1)

В проекції на вісь маємо: (2)

(причому ).

Але ; аналогічно .

Тоді рівняння (2) прийме вигляд:

,

звідки , або

(3)

де . Розмірність “ ” –м/с ( кг·м/с², кг·м, м²/с²). Отже “ ” має розмірність швидкості. Ми отримали рівняння вільних коливань струни, або одновимірне хвильове рівняння. З математичної точки зору це є диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних. Якщо ж на струну діє деяка зовнішня сила, то в рівнянні (3) з’явиться додатковий доданок , а рівняння прийме вигляд:

. (4)

Схожим виявляється двовимірне хвильове рівняння для малих коливань мембрани – тонкої пружної туго натягнутої плоскої пластини (барабан):

. (5)

Закон коливання мембрани описує профіль мембрани в будь-який момент часу в любій її точці. В математичній фізиці зустрічаються диференціальні рівняння з усіма другими частинними похідними. Всі вони також описують хвильові процесі. Всі диференціальні рівняння типу (3-5) відносяться до класу рівнянь гіперболічного типу.

§25. Початкові та крайові умови.

Рівняння коливання струни (24.3) має безліч розв’язків. Щоб знайти тільки один розв’язок – той, що дає закон коливань даної конкретної струни, на шукану функцію необхідно накласти певні додаткові умови, які випливають із фізичних міркувань і характеризують дану конкретну струну. В задачах математичної фізики ці додаткові умови звичайно бувають двох типів: початкові і крайові.

Початкові умови характеризують функцію в початковий момент часу. Нехай в певний момент часу (наприклад ) точки струни зміщені на відстані, які для різних “ ” характеризуються функцією , а швидкість точок струни дорівнюють . Тоді початкові умови можна задати рівностями:

, . (1)

Граничні або крайові умови характеризують поведінку шуканої величини на границі розглядуваної області в будь-який момент часу. Наприклад, якщо кінці струни закріплені нерухомо, то при і (лівий і правий кінець струни) відхилення в будь-який момент часу

, (2).