Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донской Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Рогозина Ю.С. , Кузнецова М.В. Метод указан к РГР Опред. интегралы, 2012.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

6 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Следовательно, данный интеграл сходится. Задание 2.Б Вычислите несобственный интеграл (или установите его расходимость) :

Решение. Подынтегральная функция f(x) = непрерывна в своей области определения, то есть при всех х, кроме х = 0, в которой она терпит разрыв второго рода. Согласно формуле (15) имеем:

интеграл расходится.

Задание 3.а Дан интеграл .

Найдите: 1) точное значение по формуле Ньютона-Лейбница; 2) приближённое значение (вручную) по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все промежуточные вычисления производите с округлением до четвёртого десятичного знака; 3) сравните полученные результаты с точным значением интеграла, найдя абсолютную и относительную погрешности для каждой из формул; 4) сделайте выводы.

Решение. 1) Вычислим данный интеграл, используя метод замены переменной: =

= . Подынтегральная дробь является неправильной рациональной дробью (так как в числителе и знаменателе находятся многочлены одинаковой степени, равной единице), в которой следует выделить целую часть. Это можно сделать двумя способами: делением «уголком» многочлена, стоящего в числителе, на знаменатель или искусственно выделяя в числителе такое же выражение, что и знаменатель. Применим в данной задаче второй способ:

2) Для вычисления интеграла по приближённым формулам разобьём отрезок интегрирования исходного интеграла [15;47] на 10 равных частей

(n = 10), тогда шаг разбиения равен : . При этом точки деления x_iнаходятся путём прибавления к предыдущему значению шага разбиения: x_i₊₁=x_i + h, где i =1,2,..,10, x₁= a . Запишем найденные значения во второй столбец таблицы 1. В точках деления x_i определим соответствующие значения подынтегральной функции , и занесём их в таблицу 1, выделяя в ней столбцы значений функции с чётными и нечётными индексами.

а) Вычислим приближённое значение интеграла по формулам прямоугольников. Для удобства вычислений формулу прямоугольников (19) перепишем в виде: (28)

Так как подынтегральная функция убывает на отрезке [15; 47] ( что видно по её значениям в таблице 1), то, используя формулу (28), мы получим приближённое значение интеграла с избытком:

Таблица 1 – Значения подынтегральной функции

i	х_i	у₁, у₁₁	у_i,(i- чёт.)	у_i, (i – неч.)
1	15	0,1000
2	18,2		0,0951
3	21,4			0,0910
4	24,6		0,0875
5	27,8			0,0844
6	31,0		0,0817
7	34,2			0,0792
8	37,4		0,0770
9	40,6			0,0750
10	43,8		0,0731
11	47,0	0,0714
∑		0,1714	S_чёт = 0,4144	S_неч = 0,3296

Абсолютная погрешность ∆ вычислений определяется как разность между точным и приближённым значениями интеграла, взятая по абсолютной величине: (29)

Тогда .

Относительная погрешность δ определяется как отношение абсолютной погрешности к точному значению интеграла в процентах:

(30)

Формулу прямоугольников (20) запишем в виде:

(31)

Тогда, ,

приближённое значение интеграла с недостатком. Абсолютная и относительная погрешности вычислений по этой формуле составляют: , .

Для получения более точного значения данного интеграла можно взять среднее арифметическое значений полученных по формулам прямоугольников:

б) Вычислим приближённое значение интеграла, используя формулу трапеций (22), которую перепишем в виде:

(32)

Тогда для данного интеграла приближённое значение, найденное по формуле (32) равно:

Абсолютная и относительная погрешности равны:

, .

в) Вычислим приближённое значение интеграла по формуле Симпсона (24), которую запишем в виде:

(33)

Для данного интеграла получаем:

Абсолютная и относительная погрешности от применения формулы Симпсона равны нулю.

Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что формула Симпсона даёт наилучшее приближение к точному значению интеграла, т.к. относительная погрешность при её применении – наименьшая.

Задание 3.б Вычислить приближённое значение интеграла с использованием Mathcad : .

Решение. Mathcad – программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчётов. Основное отличие Mathcad от других программных средств этого класса состоит в том, что математические выражения на экране компьютера представлены в общепринятой математической нотации – имеют точно такой вид, как в книге, тетради или на доске.

Алгоритм вычисления определённого интеграла в среде Mathcad

Войдите в программу Mathcad, осуществляя в главном меню Windows выбор следующих пунктов:

Пуск \ Программы \ Math Soft Apps \ Mathcad.

После слова Mathcad обычно стоит номер версии этой программы.

Откройте панель инструментов для ввода математических символов. Для этого в строке главного меню выберите подменю View (вид) и в нём переведите курсор в меню Toolbar (Панель инструментов).

Пункт меню Toolbar открывает доступ к панелям инструментов:

Standard (Стандартная), Format Bar (Форматирование), Math (Математическая), а также доступ к специализированным панелям математических инструментов: Calculator (Калькулятор), Graph (Графики), Matrix (Матрицы), Evaluation (Вычисления), Calculus (Мат.анализ), Boolean (Логические функции), Programming (Программирование), Greek (Греческие буквы), Symbolic (Символьные вычисления), Modifier (Преобразования типа).

В меню Toolbar (Панель инструментов) пометьте символом строки: Format Bar (Форматирование), Calculator (Калькулятор), Calculus (Мат.анализ). Для этого щелкните по ним левой кнопкой мыши (только в том случае, если они ранее не были выбраны).
В рабочем документе появится несколько панелей, поместите их в правую часть документа. Перемещение панелей осуществляется в несколько этапов. Сначала нужно подвести курсор мыши к названию панели, которую вы собираетесь переместить, затем нажать мышь и перетащить панель на новое место.
Щ елкните мышью в левой части документа и введите с клавиатуры свои данные: фамилию, имя, факультет, курс, группу. С новой строки введите надпись: « Численное значение интеграла». Сделайте надпись курсивной, нажав на кнопку I или К . Выберите размер шрифта, щёлкнув на правом треугольнике в списке Size (размер шрифта) и в раскрывающемся списке с помощью полосы прокрутки выберите размер 14.
Щёлкните мышью ниже надписи, затем переведите курсор мыши на панель Calculus (Мат.анализ) и на ней щёлкните по кнопке .
Введите с клавиатуры в помеченных позициях нижний (a) и верхний (b) пределы интегрирования, выражение для функции и имя переменной интегрирования.

Замечание 1. Ввод математических операций может выполняться как с клавиатуры, так и с панели инструментов Calculator (Калькулятор). Основные операции представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Основные математические операции в среде Mathcad.

Операция	Формат операции на экране	Клавиши на клавиатуре	Кнопки на панели инструментов
Сложение	a+b	< + >	+
Вычитание	a -b	< - >	-
Умножение	a∙b	< * >
Деление		< / >
Степень		< ^ >
Корень		< \ >
Квадрат	a²	< >	x ²

Замечание 2. Ввод математических функций выполняется нажатием соответствующих кнопок на панели инструментов Calculator (Калькулятор), причём аргументы почти всех функций обязательно заключаются в скобки. Основные функции представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Основные математические функции в среде Mathcad.

Функция	Обозначение функции	Формат операции на экране	Кнопки на панели инструментов
Синус	sin x	sin (x)	s in
Косинус	cos x	cos (x)	cos
Тангенс	tg x	tan (x)	t an
Натуральный логарифм	ln x	ln (x)	l n
Десятичный Логарифм	lg x	log (x)	l og
Экспонента	e^x	e^x	e ^x
Модуль
Константа π ≈ 3,14	π	π	π

Замечание 3. Ввод формулы осуществляется последовательно от одной операции к другой. Переместиться внутри формулы можно с помощью клавиш управления курсором или щелчком мыши в нужном месте. После ввода степени или индекса нужно обязательно нажать клавишу < → >, чтобы правильно ввести следующую операцию. Если после дроби находится ещё какая либо операция, то нужно сначала ввести эту операцию, а затем левый чёрный квадратик заполнить дробью.

8. Заключите всё выражение в выделяющую рамку. Нажмите кнопку мыши на свободном месте, перетащите мышь нажатой так, чтобы внутрь выделения попал весь интеграл, и отпустите кнопку мыши. Причём, границы выделенных блоков отмечаются пунктирами.

9 . Переведите мышь на панель Calculator (Калькулятор) и щёлкните по значку = , на экране появится ответ вычисляемого интеграла.

10. Распечатайте документ. Для этого в меню пунктов выберите File \ Exit

(Файл \ Выход).

1 1. Выйдите из программы Mathcad, не сохраняя документ, щёлкнув мышью на верхней правой кнопке или выбрав в меню пункты File \ Exit

(Файл \ Выход).

Так в нашем примере введём:

- нижний предел интегрирования: a = 0;

- верхний предел интегрирования: в = 1;

- выражение для подынтегральной функции:

- имя переменной интегрирования x.

Результат всех вышеперечисленных действий будет выглядеть как фрагмент рабочего документа Mathcad:

Михайлова Ирина, Э и У – I – 1

Численное значение интеграла

3 Варианты заданий для выполнения

расчётно – графической работы

Задание 1. Геометрические приложения определённого интеграла.

а) Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, которые заданы уравнениями. Сделайте чертёж.

б) Вычислите объём тела, образованного вращением вокруг координатной оси (в вариантах с нечётными номерами вращение происходит вокруг оси Оу, с чётными – вокруг оси Ох) плоской фигуры, ограниченной линиями, которые заданы соответствующими уравнениями. Сделайте чертёж.

а) ; б)

1.2 а) ; б)

1.3 а) ; б)

1.4 а) ; б)

1.5 а) ; б)

1.6 а) ; б)

1.7 а) ; б)

1.8 а) ; б)

1.9 а) ; б)

1.10 а) ; б)

1.11 а) ; б)

1.12 а) ; б)

1.13 а) ; б)

1.14 а) ; б)

1.15 а) ; б)

1.16 а) ; б)

1.17 а) ; б) 1.18 а) ; б)

1.19 а) ; б) 1.20 а) ; б)

1.21 а) ; б) 1.22 а) ; б)

1.23 а) ; б) 1.24 а) ; б)

1.25 а) ; б) 1.26 а) ; б)

1.27 а) ; б) 1.28 а) ; б)

1.29 а) ; б) 1.30 а) ; б)

1.31 а) ; б)

1.32 а) ; б)

1.33 а) ; б)

1.34 а) ; б)

1.35 а) ; б) ,

1.36 а) ; б)

1.37 а) ; б)

1.38 а) ; б)

1.39 а) ; б)

1.40 а) ; б)

1.41 а) ; б)

1.42 а) ; б)

1.43 а) ; б)

1.44 а) ; б)

1.45 а) ; б)

1.46 а) ; б)

1.47 а) ; б)

1.48 а) ; б)

1.49 а) ; б)

1.50 а) ; б)

Задание 2. Несобственные интегралы

Вычислите несобственные интегралы (или установите их расходимость).

2.1 а) 2.2 а) 2.3 а)

б) б) б)

2.4 а) 2.5 а) 2.6 а)

б) б) б)

2.7 а) 2.8 а) 2.9 а )

б) б) б)

2.10 а) 2.11 а) 2.12 а)

б) б) б)

2.13 а) 2.14 а) 2.15 а)

б) б) б)

2.16 а) 2.17 а) 2.18 а)

б) б) б)

2.19 а) 2.20 а) 2.21 а)

б) б) б)

2.22 а) 2.23 а) 2.24 а)

б) б) б)

2.25 а) 2.26 а) 2.27 а)

б) б) б)

2.28 а) 2.29 а) 2.30. а)

б) б) б)

2.31 а) 2.32 а) 2.33 а)

б) б) б)

2.34 а) 2.35 а) 2.36 а)

б) б) б)

2.37 а) 2.38 а) 2.39 а)

б) б) б)

2.40 а) 2.41 а) 2.42 а)

б) б) б)

2.43 а) 2.44 а) 2.45 а)

б) б) б)

2.46 а) 2.47 а) 2.48 а)

б) б) б)

2.49 а) 2.50 а)

б) б)

Задание 3. Численные методы вычисления определённого интеграла

а) Дан интеграл

Найдите: 1) точное значение; 2) приближённое значение (вручную) по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все промежуточные вычисления производите с округлением до четвертого десятичного знака; 3) сравните полученные результаты с точным значением интеграла, найдя абсолютную и относительную погрешности для каждой из формул; сделайте выводы.

б) Дан интеграл . Необходимо с помощью пакета Mathcad найти приближённое значение интеграла.

3.1 а) 3.2 а) 3.3 а)