1.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Для перевода целых чисел и целых частей неправильных дробей используется метод, базирующийся на делении переводимого числа на основание новой системы счисления.
Целое число с основанием N1 переводится в систему счисления с основанием N2 путем последовательного деления числа AN1 на основание N2, записанного в виде числа с основанием N1, до получения остатка. Полученное частное следует вновь делить на основание N2, и этот процесс надо повторять до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Полученные остатки от деления и последнее частное записываются в порядке, обратном порядку деления. Сформированное число и будет являться числом с основанием N2.
Например, A (10) = 37
A (2) = ? A (16) = ?
Перевод в двоичную систему: Перевод в шестнадцатиричную систему:
37
2
37 16
36 18 2 32 2
1 18 9 2 5
0 8 4 2
1 4 2 2
0 2 1
0
A (2) = 100101 A (16) = 25
Дробное число (< 1) с основанием N1 переводится в систему счисления с основанием N2 путем последовательного умножения А (N1) на основание N2, записанное в виде числа с основанием N1. При каждом умножении целая часть произведения берется в виде очередной цифры соответствующего разряда, а оставшаяся дробная часть принимается за новое множимое. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляющего число А (N1) в системе счисления N2.
Например, A (10) = 0.625
A (2) = ? A (8) = ? A (16) = ?
0.625 0.625 0.625
*2 * 8 *16
1.250 5.000 10.000
* 2
0.500
*2
1.000
A (2) = 0.101 A (8) = 0.5 A (16) = 0.A
Так как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы связаны через степени числа 2, то преобразования между ними можно выполнять другим более простым способом.
Преобразуемое двоичное число разбивают вправо и влево от границы целой и дробной части на группы по четыре двоичные цифры (тетрады). Затем каждую группу двоичных цифр выражают одной шестнадцатеричной цифрой, где
0000(2)=0(16) |
0001(2)=1(16) |
0010(2)=2(16) |
0011(2)=3(16) |
0100(2)=4(16) |
0101(2)=5(16) |
0110(2)=6(16) |
0111(2)=7(16) |
1000(2)=8(16) |
1001(2)=9(16) |
1010(2)=A(16) |
1011(2)=B(16) |
1100(2)=C(16) |
1101(2)=D(16) |
1110(2)=E(16) |
1111(2)=F(16) |
|
|
|
|
Например, 1101101,11(2) = 01101101,1100 = 6D,С(16).
Для перевода из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную достаточно записать шестнадцатеричные коды цифр тетрадами:
1E(16) = 00011110(2) = 11110(2)
Так как 8 = 23, то для перевода чисел из двоичной системы в восьмеричную производится разбивка чисел на группы по три двоичных цифры (триады):101111(2) = 57(8).
Для перевода из восьмеричной системы счисления в двоичную достаточно записать восьмеричные коды цифр триадами:
347,5(8) = 011100111,101(2)
Как двоичное число перевести в десятичную систему счисления?
В соответствии с формулой (1.1) любое число можно разложить по степеням основания. Например, в десятичной системе:
разряд: 3210
число 1985 =1·103 + 9 · 102 + 8 · 101 + 5·100.
Точно так же любое двоичное число можно записать в виде:
разряд: 543210
число 110110(2) = 1 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 =32 + 16 + 4 + 2 = 54.
Таким образом, 110110(2) = 32 + 16 + 4 + 2 = 54(10).
1001,101(2)
=
= 9,75(10).
Восьмеричные и шестнадцатиричные числа в десятичную систему счисления переводятся аналогично. Например,
237,5(8)
=
= 159,625(10)
6АС,F(16)
=
=
1708,9375(10)