Логико-вероятностный метод оценки надежности систем

Метод, в котором структурная модель системы описывается средствомматематической логики, а количественная оценка надежности производится с помощью теории вероятностей называется логико-вероятностным (ЛВМ). Число характерных задач, решаемых ЛВМ, включает в себя: определениепропускной способности перемычек, обоснование установки коммутационныхаппаратов, выбор рационального варианта схемы системы.

Множество возможных состояний системы можно описать с помощьюалгебры логики.

Логическая связь между элементами системы выражается знакамиконъюнкции ∧ (И, × (умножить)) и дизъюнкции ∨(ИЛИ, + (сложить)).Каждый элемент может находиться в двух состояниях: работоспособном(1) и неработоспособном (0).

Логико-вероятностный метод иногда называют метод деревьев событий.

Он заключается в описании схемы функцией алгебры логики, выражающейфункцию отказа системы или работоспособности.

Алгоритм метода

1) Составляется эквивалентная структурная схема системы.

2) Строится граф дерева событий на основе алгебры логики, начиная снижнего яруса. При этом изображаются в кружках элементы, отказ которыхприводит к отказу части системы. Затем элементы соединяются логическимисвязями ∧ или ∨ , в зависимости от структуры надежности и обозначаетсявершинное действие, т.е. отказ (можно работа системы).

На рис. 16.2 показано как составлять графы деревьев событий на примерепоследовательного, параллельного соединений элементов системы и длясистемы с поперечной связью.

Рисунок 16.2. Графы деревьев событий

3) Дается логическое описание отказов в системе на основе графа деревасобытий (ДС). При этом работоспособность обозначается Х, а отказ Х.Например, для последнего графа, приведенного на рис. 16.2:

4) Осуществляется переход от логических переменных к вероятностнымсовместно с подстановкой соответствующих алгебраических знаков операции.Например, для последнего графа, приведенного на рис. 16.2 в):

Рассчитывается численное значение вероятности отказов с учетомавтоматического ввода резерва, если он предусмотрен в анализируемой схеме.

Преимущества логико-вероятностного метода:

1) можно применять при любой логической структуре системы, а нетолько при последовательно-параллельных логических схемах;

2) можно применять при любых распределениях наработки до отказа.

Недостатки:

1) не всегда удается составить логическую функцию работоспособностиили отказа, соответствующую рассматриваемой системе;

2) громоздкость метода для сложных систем преобразования.

Пример 1. Рассмотрим схему с поперечными связями на примередвухагрегатной ТЭЦ, приведенную на рис. 16.3. Здесь ПГ1 и ПГ2 – котлы; Т1 иТ2 – турбины; ПМ – переключающая магистраль.

Рисунок.16.3. Структурная схема ТЭЦ

Особенность схемы: ПГ1 и ПГ2, Т1 и Т2 взаимно не резервируются на100%-ном уровне мощности. При 50%-ном уровне мощности возможенпопарный останов ПГ и Т для ремонта.Составим для нее структурную схему надежности для оценкикоэффициента готовности схемы, т.е. работоспособного состояния.

Рисунок 16.4. Структурная схема надежности

Схема отражает параллельное соединение кратчайших путей успешногофункционирования.

Метод путей и минимальных сечений схем систем

Для схем произвольной конфигурации в смысле надежности возникаетзадача определения состояний работоспособности и состояний отказаотносительно узла. Элементы, входящие в такие состояния, образуют такназываемые пути и сечения схемы.

Путями схемы относительно узла (узлов) нагрузки называютсяминимальные совокупности элементов, безотказные состояния которых (влюбой из совокупностей) обеспечивают безотказное состояние схемы(передачу электроэнергии) относительно узла.

Минимальными сечениями схемы называются совокупностиминимального набора элементов, отказы которых в любой из совокупностейприводят к состоянию отказа схемы (прекращение передачи электроэнергии)относительно узла.

Иначе, путь от источника питания (ИП) до узла – это тот минимальныйнабор элементов схемы, который обеспечивает один из возможныхсамостоятельных вариантов выполнения задачи – передачи электроэнергии вузел нагрузки.Минимальные сечения – это тот минимальный набор элементов схемы,отказ которых приводит к отказу системы относительно узла, т.е. кпрекращению передачи электроэнергии.В определении путей и сечений не предусматривается ограничениепропускных способностей элементов. В схеме с последовательнымсоединением элементов имеется один путь, состоящий из совокупностиэлементов 1,2,…,n, и n сечений: (1), (2),…,(n). В схеме с параллельнымсоединением элементов имеется одно сечение (1,2,…,n) и n путей: (1),(2),…,(n).Т. о., данный подход целесообразно использовать для определениявероятностей полного отказа и полной работоспособности системы.Представим все минимальные сечения и пути схемы с последовательнымсоединением элементов в виде матриц минимальных сеченийСи путей П. Ихстолбцы соответствуют элементам, строки – сечениям (путям). Если элемент iвходит в сечение j, то на пересечении столбца i и строки j ставится 1, впротивном случае – 0:

Отсюда, если элемент входит в состав всех путей, то он образуетодноэлементное сечение. Если элемент входит в состав всех сечений, то онобразует путь.

Для выявления одноэлементных сечений по матрице путей достаточно выявить ее столбцы, состоящие из одних единиц (пересечение всех путей в одном элементе).

Двухэлементные сечения получаются в результате логического сложения двух любых столбцов матрицы путей (пересечение всех путей в двух элементах). Если в результате получается столбец, состоящий из одних единиц, то эти два элемента образуют двухэлементное сечение. Трехэлементные сечения получаются в результате логическогосложения трех столбцов (пересечение всех путей в трех элементах) и т.д. Вспомним правила логического сложения:

В результате подобного анализа можно по матрице путей получитьматрицу сечений.

И еще два важных для расчета надежности сложных систем вывода:

1. Если все пути схемы пересекаются в одном элементе, то этотэлемент является одноэлементным сечением.

2. Если все пути пересекаются в двух элементах, то эти элементыобразуют двухэлементные сечения.

Способ определения одно- и двухэлементных сечений, основанный напересечении путей можно получить иначе, через независимые пути схемы:

- если два независимых пути вынужденно пересекаются в одномэлементе, то он образует одноэлементное сечение.

- если две пары независимых путей вынужденно пересекаются в двухэлементах, то они образуют двухэлементное сечение.

Используя способ вынужденного пересечения независимых путей, можнорегулировать в процессе расчета количество состояний системы, выявляятолько состояния с числом отказавших элементов не более двух. Для этого достаточно найти четыре максимально независимых пути. Вынужденныепересечения двух путей выявляют одноэлементные сечения, пересечения парпутей – двухэлементные сечения.

Подводя итог, можно отметить, если в системе преобладаетпоследовательное соединение элементов, то задача более быстро решается свыделением состояния работоспособности. Если в системе много поперечныхсвязей и резервирования – то с выделением состояний отказов.

Пример. Для схемы, приведенной на рис. 16.5, без учета узловопределить все возможные минимальные сечения по матрице путей между ИП(узел а) и узлом нагрузки (узел н).

Рисунок 16.5. Исходная схема

В результате получили двухэлементное сечение (1,2).Аналогично получаем двухэлементное сечение (3,4), трехэлементныесечения (1,5,4) и (2,5,3). Первые три сечения независимые, т.к. состоят изразных элементов, последние два – зависимые, в них входит общий элемент 5.Отсюда вероятность отказа системы равна:

Если в матрицу входят узлы схемы, то сечения получаются аналогично.Матрица путей схемы, в которую входят узлы, имеет вид:

Алгоритм метода путей и минимальных сечений

Вначале рассматривается нормальный режим схемы сети.

1) Деление элементов на узлы и ветви.

2) Анализ проводится относительно каждого узла или нескольких узлов,но тогда они объединяются в один абстрактный.

3) Составление графа сети, где узлы – вершины, ребра – ветви + вершина≪ИП≫.

4) Выделение одно-, двух-, трехэлементных сечений относительнорассматриваемого узла:

а) выделяется первый кратчайший путь между ИП и узлом нагрузки ивыделяется одноэлементное сечение;

б) выделяется второй кратчайший путь, но с максимально возможнымиисключениями элементов первого пути и выделяются двухэлементные сеченияи т.д.

5) Составляется структурная схема сечений.

6) Выделяется первый ремонтный режим и составляется для негоструктурная схема сечений, затем второй и т.д.

7) Записывается вероятность отказа схемы с учетом преднамеренныхотключений.

Ненагруженный резерв

При ненагруженном резервировании один элемент находится поднагрузкой, а остальные n элементов используются как резервные, т.е. какненагруженный резерв. Элементы такого резерва бездействуют (см. рис. 16.6).

Рисунок 16.6. Модель ненагруженного резерва

Вероятность безотказной работы системы из (n+1) элемента, где одинэлемент находится в состоянии работы, а остальные n в резерве до моментавыхода из строя рабочего (нагруженного элемента) определяется как:

Данное выражение справедливо, если все элементы идентичны, т. еλ = const, а отказы элементов статистически независимы. Здесь не учитываетсявозможность отказа переключающего устройства.

Пример. Система состоит из двух идентичных устройств, одно ихкоторых функционирует, а другое находится в состоянии ненагруженногорезерва. Интенсивность отказа для обоих устройств равна:

Определить вероятность безотказной работы системы в течение 100ч.