9.8.3. Диполь у неоднорідному електричному полі

На заряди диполя, розміщеного в електростатичному полі з напруженістю (див.Мал.78) діє пара сил величиною й плечем , які створюють момент сили величиною

, (8)

що діє на диполь (див.Мал.13). Вектор моменту сили, з огляду на (8), запишеться так

.

При повороті диполя на кут , поле виконує роботу

.

(9)

Ця робота виконується зовнішнім полем на створення механічної потенціальної енергії W_м диполя в електричному полі

. (10)

Підставляючи (8) у (9), одержимо

(11)

Якщо зовнішнє поле з напруженістю створює дипольний момент , поляризуючи неполярні молекули або, розвертаючи дипольний момент полярних молекул, то при цьому виконується робота

. (12)

В неоднорідному полі, коли , на диполь діє сила

, (13)

яка втягує його в область більшої величини напруженості. Зокрема, коли , маємо

. (14)

9.9. Потік вектора напруженості, теорема Остроградського-Гауса

9.9.1. Просторовий (тілесний) кут

Розглянемо сферу й конус, вершина якого співпадає з центром сфери О, а твірна конуса більше радіуса сфери (див.Мал.79). Під тілесним (просторовим) кутом розуміють частину простору, обмежену бічною поверхнею конуса. Мірою тілесного кута є відношення поверхні сфери , вирізаної ним до к вадрата радіуса r

. (1)

Т ілесний кут має одиницею вимірювання — стерадіан (стрд). Якщо вирізана конусом поверхня сфери дорівнює , то тілесний кут дорівнює 1 стрд. Просторовий кут, що спирається на всю поверхню сфери дорівнює стрд.

9.9.2. Потік вектора напруженості

Нехай в електростатичному полі є елементарна поверхня з нормаллю , яку пронизує силова лінія напруженості (див.Мал.80). Елементарний потік Ф вектора напруженості через цю поверхню визначається так

, (2)

де кут між та нормаллю до dS , .

Якщо напруженість створена точковим зарядом dq, то її величина дорівнює і (2) можна записати у вигляді

, (3)

В (3) тілесний кут, що спирається на поверхню dS і з урахуванням цього (3) запишеться так

. (4)

Потік вектора напруженості Е, створеного точковим зарядом dq для довільної поверхні S записується у вигляді

, (5)

де тілесний кут, що спирається на поверхню S.

9.9.3. Теорема Остроградського-Гауса

Н ехай у середовищі з діелектричною проникливістю є система з М точкових та N макроскопічних електричних зарядів (див.Мал.81). Оточимо сукупність зарядів та в об'ємі довільною замкненою поверхнею . Величина оточеного заряду може бути записана як величина розподіленого в об'ємі заряду

з густиною заряду й елементарним зарядом .

Теорема Остроградського-Гауса стверджує, що потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі через довільну замкнену поверхню дорівнює

. (6)

Дійсно, використовуючи те, що поверхня замкнена і , (5) запишемо у вигляді

. (7)

В (7) інтеграл і

. (8)

Інтегруючи у (8) dq по об'єму і, підставляючи вираз для , одержимо

і остаточно

,

що й треба було довести.

Фізичний зміст теореми Остроградського-Гауса полягає в тому, що за її допомогою, при відомій напруженості електростатичного поля , можна визначити розподіл зарядів у просторі поля. Такий зв'язок існує лише у випадку центральних сил, величина яких обернено пропорційна відстані між точковими джерелами центральних сил.