1. Квантор всеобщности.
Пусть P(x)
– предикат, определенный на множестве M. Под
выражением 
понимают
высказывание, истинное, когда P(x)
истинно для каждого элемента 
и
ложное в противном случае. Это высказывание
не зависит от x.
Соответствующее ему словесное выражение
«Для всякого x P(x)
истинно». Символ 
называется
квантором всеобщности. Переменную x в
предикате P(x)
называют свободной (ей можно придавать
различные значения из M),
в высказывании
переменную x называют
связанной квантором всеобщности.
2. Квантор существования.
Пусть P(x)
– предикат, определенный на множестве M. Под
выражением 
понимают
высказывание, которое является истинным,
если существует элемент
,
для которого P(x)
истинно и ложным в противном случае.
Это высказывание не зависит от x.
Соответствующее ему словесное выражение
«существует x,
при котором P(x)
истинно». Символ 
называется
квантором существования.
Пример.
M=N, P(x) – «число x кратно 5»;
–
«Все
натуральные числа кратны 5» ложно,
т.е. 
;
–
«Существует
натуральное число, кратное 5» истинно,
то есть 
.
Замечание 1. Высказывание истинно только в том единственном случае, когда P(x) тождественно истинный предикат, а высказывание ложно только в том единственном случае, когда P(x) тождественно ложный предикат.
Замечание 2.
Кванторные операции применяются и к
многоместным предикатам. Пусть, например,
на множестве M задан
двухместный предикат P(x,y).
Применение кванторной операции к
предикату P(x,y)
по переменной x ставит
в соответствие двухместному предикатуP(x,y)
одноместный предикат 
(или
одноместный предикат 
)
[для любого xP(x,y)
истинно (существует x,
при котором P(x,y)
истинно)], зависящий от переменной y и
не зависящий от переменной x.
К ним можно применить кванторные операции
по переменной y,
которые приведут к высказываниям
следующих видов: 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Пример.
Рассмотрим предикат P(x,y) – «y является делителем x», определенный на множестве N. Применение кванторных операций к этому предикату приводит к 8 возможным высказываниям:
1) – «Для всякого y и для всякого x, y является делителем x»;
2) – «Существует y, которое является делителем всякого x»;
3) – «Для всякого y существует x такое, что x делится на y»;
4) – «Существует y и существует x такие, что y является делителем x»;
5) – «Для всякого x и для всякого y, y является делителем x»;
6) – «Для всякого x существует y такое, что x делится на y»;
7) – «Существует x такое, что для всякого y, x делится на y»;
8) – «Существует x и существует y такие, что y является делителем x».
Высказывания 1), 5), 7) ложны; а высказывания 2), 3), 4), 6), 8) истинны.
Билет № 18
1.Теорема о мощности декартова произведения множества. Степень множества.
Пусть 
-
конечные множества.
Соответственно мощности этих множеств равны: 
.
Тогда мощность прямого
произведения 
множеств равна
произведению мощностей соответствующих множеств,
т.е. 
.
Доказательство методом математической индукции.
Для 
теорема
тривиально верна. Предположим, что она
верна и для 
и
докажем ее справедливость для 
.
По
предположению 
.
Возьмем любой вектор 
из 
и
припишем справа элемент 
.
Это можно сделать 
способом,
т. е. получим
различных векторов из 
.
Таким
образом, из всех 
векторов приписыванием
справа элемента из 
можно
получить 
векторов,
причем все они различны. Поэтому
для
теорема
верна и, следовательно, верна для любых
.
Следствие: 
Булеан (степень
множества, показательное
множество, множество
частей) —
множество всех подмножеств данного
множества
,
обозначается 
или 
(так
как оно соответствует множеству
отображений из
в 
).
Если
два множества равномощны,
то равномощны и их булеаны. Обратное
утверждение (то
есть инъективность операции 
для кардиналов)
является независимым от ZFC.
В категории
множеств можно снабдить
функцию 
структурой ковариантного или
контравариантного функтора
следующим образом:
ковариантный функтор отображает функцию
в
функцию 
такую,
что она отображает 
в образ
относительно 
;контравариантный функтор отображает функцию в
такую,
что она отображает
в
полный прообраз
относительно
.
2.Основные логические операции.
Билет 8 вопрос 2
Билет №19