1.3. Логические отношения
Иногда бывает желательно рассмотреть взаимоотношение двух высказываний. Наиболее интересное из таких отношений имеет место, когда из одного высказывания логически следует другое. Если из X следует Y, мы говорим также, что Y является следствием X или что Y логически выводимо из X. Исходя из анализа логических возможностей для пары высказываний X и Y, отношение следствия можно охарактеризовать таким образом: из X следует Y, если Y истинно всякий раз, когда истинно X, т. е. если Y истинно во всех логически возможных случаях, в которых X истинно.
В случаях составных высказываний, имеющих одни и те же компоненты, таблицы истинности дают удобный метод для проверки того, имеет ли место отношение следствия.
Следующая таблица иллюстрирует этот метод:
X |
Y |
X ↔ Y |
X → Y |
X ∨ Y |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Высказывание X ↔ Y истинно в первом и четвертом случаях и в обоих этих случаях истинно также высказывание X → Y. Мы видим, что из Х ↔ Y следует высказывание X → Y. Сравнение двух последних столбцов показывает, что из высказывания X → Y не следует X ∨ Y, из X ∨ Y не следует X → Y.
При помощи таблиц истинности удобно осуществлять проверку эквивалентности двух составных высказываний, имеющих одни и те же компоненты. Для этого достаточно лишь посмотреть, одинаковы ли таблицы истинности у этих составных высказываний.
Из
следующей таблицы истинности видно,
что X
→ Y
эквивалентно
.
X |
Y |
X → Y |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Два высказывания называются логически несовместимыми, если из истинности одного из них необходимо следует ложность другого. Другими словами, несовместимость высказываний X и Y означает, что они никогда не могут оказаться одновременно истинными. Если несколько составных высказываний построены из одних и тех же простых составляющих, то для проверки их совместимости нужно построить таблицы истинности для каждого из высказываний. Если среди всех строк найдется, по крайней мере, одна, в которой все составные высказывания истинны, то составные высказывания совместимы. В противном случае они оказываются несовместимыми.
1.4. Варианты импликации
Импликация двух высказываний отличается от эквивалентности, а также от дизъюнкции и конъюнкции тем, что она несимметрична. Так X ∨ Y эквивалентно Y ∨ X; X ∧ Y эквивалентно Y ∧ X; X ↔ Y эквивалентно Y ↔ X, но X → Y не эквивалентно Y → X. Высказывание Y → X называется конверсией высказывания X → Y. Многие из наиболее распространенных ошибок в рассуждениях происходят от смешивания какого-либо высказывания с его конверсией. Интересно поэтому рассмотреть те импликации, которые могут быть образованы из высказываний X и У.
В таблице истинности представлены четыре импликации и их названия.
X |
Y |
|
|
X → Y |
Y → X |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Из таблицы видно, что X → Y эквивалентно . Последнее называется контрапозицией первого. Контрапозиция является удобной формой импликации во многих рассуждениях. Аналогично, высказывание представляет собой конверсию контрапозиции. Так как контрапозиция эквивалентна , то конверсия этой контрапозиции эквивалентна конверсии этой импликации.
С импликацией связано постоянное упоминание математиками «необходимое условие» и «достаточное условие».
X является достаточным условием для Y |
Если имеет место X, то Y также будет иметь место |
Импликация X → Y |
X является необходимым условием для Y |
Если имеет место Y, то X также будет иметь место |
Конверсия достаточного условия X → Y |
X является необходимым и достаточным условием для Y |
X имеет место, если и только если имеет место Y |
Двойная импликация X ↔ Y эквивалентность |