§ 2. Грани числовых множеств
Пусть X - непустое множество вещественных чисел.
Определение.
Множество
X
называется ограниченным сверху (снизу),
если существует число
такое, что для любого
выполняется неравенство
Число в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества X.
Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.
Примеры.
1.
Любой конечный промежуток ограничен.
2.
интервал (
есть
множество, ограниченное снизу, но не
ограниченное сверху. 3.
Интервал
есть множество, не ограниченное ни
сверху, ни снизу.
Наименьшее
(наибольшее) из чисел, ограничивающих
множество X
сверху (снизу), называется точной
верхней (нижней) гранью
множества X
и обозначается символом
Свойство
точной верхней (нижней) грани. Как
бы мало ни было число
,
существует число
такое, что
.
Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Если
множество X
не ограниченно сверху (снизу), то пишут
.
Пример.
Доказать, что множество
ограниченно. Установить, какие числа
являются его гранями. Найти точные
верхнюю и нижнюю грани этого множества.
Решение.
При любом натуральном n
выполняются неравенства
,
поэтому двойное множество
X
ограниченно. Таким образом, число 1 -
верхняя грань, а число 0 - его нижняя
грань.
Докажем,
что число 1 является точной верхней
гранью множества X,
т.е. что sup
X=1.
Для этого, согласно свойству точной
верхней грани, надо показать, что для
любого ԑ>0
существует натуральное число n
такое, что выполняется неравенство
.
Этим числом n
является n=1,
так как
- верное неравенство для любого
,
что и требовалось доказать.
Докажем
теперь, что число 0 является точной
нижней гранью множества X.
Для этого надо проверить, что для любого
существует натуральное число n
такое, что выполняется неравенство
или
.
Решая неравенство, получаем
.
Взяв какое-нибудь натуральное число
,
получим требуемое неравенство, а это,
согласно свойству точной нижней грани,
и означает, что число 0 является точной
нижней гранью множества X,
т.е.
Отметим, что данному множеству X точная грань 1 принадлежит и является его наибольшим числом, а точная нижняя грань 0 не принадлежит и в этом множестве нет наименьшего числа.
12.
Доказать, что множество
ограничено. Установить, какие числа
являются его гранями. Найти точные
верхнюю и нижнюю грани этого множества
(n
- натуральное число).
13.
Приведите примеры числовых множеств
X,
у которых: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Имеет ли множество X
в случаях а) и б) наибольшее, а в случаях
в) и г) наименьшее число?
14.
Приведите пример числового множества
X,
когда
.
15.
Приведите пример числового множества
X,
когда
,
а
.
16. Можно ли утверждать, что для неограниченного числового множества X сверху (снизу) найдется бесконечное множество чисел, больших (меньших), чем наперед заданное число М>0?
17.
Доказать,
что множество
всех целых чисел не ограниченно ни
сверху, ни снизу, т.е.
и
.
18.
Доказать, что множество
натуральных чисел не ограниченно сверху,
т.е.
.
19.
Доказать, что, каковы бы ни были числа
a
и b,
,
существует такое целое число
,
что
.
20.
Пусть X
и Y
– два непустых числовых множества.
Доказать, что если
,
то : а)
;
б)
.
21. Пусть X и Y – два непустых числовых множества. Доказать, что:
а)
;
б)
.
22.
Пусть X
и Y
- два непустых числовых множества.
Доказать, что если каждое
меньше любого
и для любого
существуют
и
такие, что
,
то
.