3.0 Релятивисская кинематика

Космический корабль созданный из переохлажденного водородного льда может использовать один и тот же материал в качестве конструкционного материала, радиационного и прочих экранов, хладогена и топлива, [2,3,4,5,6,7], но куда более важно с точки зрения кинематики то, что очень малая часть массы корабля будет потрачена впустую как непроизводящий тягу неполезный груз.

Этот тип корабля, "автофаг" (самопожиратель), достигает чрезвычайно низкой доли мертвой массы (неполезной массы остающейся после сжигания всего топлива), что является очень ценным при запуске межзвездного корабля [8]. Вместе с тем, водород, который для этого используется, идеален как реактивная материя с минимальной молекулярной массой и следовательно имеет максимальную скорость истечения.

Как отмечают Спенсер и Джэйфф (Spencer & Jaffe) [9]: 

"Всесторонне изучавшие релятивистскую ракетную динамику Акерета (Ackeret) [12,13], Тсайн (Tsien) [14], Бассард (Bussard)[15] и многие другие, сделали два неявных допущения, что сильно ограничивает возможности этих ракет. Они предположили, что ракета на ядерной энергии будет одноступенчатой и что вся полученная энергия передается оставшейся части всей массы судна. Последнее предположение, очевидно, является результатам идеи, что израсходованное ядерное топливо будет либо сохранено на борту, либо выброшено за борт, и не будет истекать с огромной скоростью как реактивная масса. Эти предположения не есть необходимостью и более того, они нежелательны.

Еще раньше межзвездные ракеты рассматривал Зенгер (Sanger)[16] и Штулингер (Stuhlinger) [17]. Они поняли, что количество доступной энергии есть скорей всего функция массы топлива и от конечной массы она не зависит. Однако они не полагали, что необходимо организовывать корабль по схеме привычных химических ракет. Они заключили, поэтому, что межзвездные путешествия на ядерной реакции невозможны (поскольку источник был недостаточно мощен из-за фундаментальных ограничений на количество энергии доступной для разгона ракеты). В противоположность этому предложенный анализ (от Спенсера и и Джаффе) [9] показывает как ракета на ядерном делении или синтезе может рассматриваться для межзвездного путешествия."

Уравнения Спенсера и Джэйффа использовались для расчета релятивистской кинематике и в этой работе. Они включают корректные уравнения, полученные сначала Зенгеном [16] и Хузом (Huth) [18], которые устанавливают отношение между долей массы, преобразованной в энергию (epsilon, e) и скоростью истечения относительно ракетного корабля (w), а так же между долей массы, преобразованной в энергию (e) и удельным импульсом (I). 

А именно:

Для одноступенчатого корабля доля сухой массы (x_i) является отношением массы пустого корабля (M_b) к всей массе использованного топлива (M_f):

Масса же использованного топлива - это сумма масс отброшенного топлива как реактивной массы (M_e) и массы остального топлива конвертированного в кинетическую энергию:

Как указывают Спенсер и Джейфф, конструкция многоступенчатого межзвездного корабля очень чувствителен к доле мертвой массы (beta, b) и полной доли полезной нагрузки (phi, p). В частности для корабля с n ступенями конечная скорость полезной нагрузки (n-той ступени) выраженная через долю полезной нагрузки, долю мертвой массы на каждой ступени и через долю массы топлива, преобразованную в энергию будет:

И полное массовое число (отношение) для всей ракеты:

Тогда, если доля полезного груза 10^-1 мы имеем следующее отношение между долей мертвой массы (beta), количеством ступеней (n) и конечной скоростью полезной нагрузки u_n в долях от скорости света:

Доля мертвой массы	Количество ступеней	Конечная скорость к с
(beta, b )	(n)	(un / c)
0.1	1	0.15
0.1	2	0.17
0.1	3	0.177
0.1	4 или 5	0.18
0.2	1	0.125
0.2	2	0.15
0.2	3	0.155
0.2	4	0.16
0.2	5	0.162
0.3	1	0.105
0.3	2	0.13
0.3	3	0.14
0.3	4	0.146
0.3	5	0.148

Если доля полезной нагрузки 10^-3 мы имеем следующее отношение между долей мертвой массы (beta, b) количеством ступеней (n) и конечной скоростью полезной нагрузки в долях от скорости света:

Доля мертвой массы	Количество ступеней	Конечная скорость к с
(beta, b )	(n)	(un / c)
0.1	1	0.20
0.1	2	0.37
0.1	3	0.44
0.1	4	0.46
0.1	5	0.47
0.2	1	0.16
0.2	2	0.30
0.2	3	0.37
0.2	4	0.41
0.2	5	0.44
0.3	1	0.14
0.3	2	0.26
0.3	3	0.32
0.3	4	0.36
0.3	5	0.38

И если доля полезной нагрузки 10^-5 мы имеем следующее отношение между долей мертвой массы (beta, b) количеством ступеней (n) и конечной скоростью полезной нагрузки в долях от скорости света:

Доля мертвой массы	Количество ступеней	Конечная скорость к с
(beta, b )	(n)	(un / c)
0.1	1	0.22
0.1	2	0.40
0.1	3	0.53
0.1	4	0.61
0.1	5	0.64
0.2	1	0.16
0.2	2	0.30
0.2	3	0.42
0.2	4	0.50
0.2	5	0.55
0.3	1	0.14
0.3	2	0.26
0.3	3	0.36
0.3	4	0.44
0.3	5	0.48

Комментарий от переводчика. 

Обратите внимание. Все расчеты Поста производятся из предположения, что доля конвертированной массы в энергию epsilon или e будет той, что он принял в разделе 1.0 ВВЕДЕНИЕ, цитирую: 

Для ракеты на ядерном делении [12, 16] доля массы, превращенной в энергию приближенно составляет 7х10^-4, для термоядерного синтеза дейтерия грубо 4х10^-3. Предположим, что мы уже имеем двигатель на синтезе дейтерия с конверсионной долей (epsilon) = 4х10^-3, детали оставим инженерам. 

Но это, мягко говоря, несколько завышенная цифра. Конечно же, именно такой дефект массы0.0040 имеет реакция синтеза дейтерия с гелием-3:

[(2.01355_D+ 3.016_Нe3) - (4.002_Нe4+ 1.0072_Н) ]/(2.01355_D+ 3.016_Нe3) = 0.0040

Но, как верно заметил автор, гелий не замерзает при фоновой температуре космоса в лед и для ледяной ракеты не годится. Почти такой же epsilon у "грязной" реакции дейтерий-тритий 0.0037. Но это очень неудобрая реакция. Большая часть ее энергии уходит с незаряженными частицами. А вот у дейтерий-дейтериевой реакции, которую Пост выбрал для своей ракеты, дефект массы,epsilon, значительно ниже:

50%: [(2.01355_D+ 2.01355_D) - (3.016_Нe3+1.0072_Н) ]/(2.01355_D+ 2.01355_D) = 0.000968

50%: [(2.01355_D+ 2.01355_D) - (3.016_Т+1.0086_n)]/(2.01355_D+ 2.01355_D) = 0.000620

Средний epsilon: 0.000794. То есть в 5 раз меньше принятого Постом в начале. Если теперь в формулы, использованные автором, подставить уточненное значение e, то для 5-и ступенчатой ракеты мы получим в лучшем случае не 0.642 с , а 0.327. При этом надо учитывать, что расчет ведется для идеального термоядерного двигателя, в котором все топливо сгорает, вся выделившеяся энергия превращается в энергию реактивной массы и движитель (магнитное сопло) 100%-но преобразовывает импульс топлива в импульс ракеты. Но такое не достижимо. Если допустить суммарный к.п.д. гипотетического двигателя 50% (что крайне хорошо!) то расчет Поста даст в лучшем случае для 5-ой ступени ракеты максимум 0.236 c.

В этой работе делается предположение, что никакого торможения полезной нагрузки у цели не осуществляется. Чтобы обеспечить такое торможение массовое число должно быть взведено в квадрат. Чтобы затормозить у цели, потом разогнаться на пути домой и опять затормозить уже дома массовое число надо возвести в 4-ю степень. Но было предложено несколько идей [20] (стр. 116-7) для торможения межзвездного корабля солнечным парусом, магнитным парусом [34] или за счет электростатического отклонения межзвездной плазмы. Остается только выяснить является ли какой-нибудь из этих подходов применим на скоростях более 0.01с?