2.2 Исходные данные к расчету

Необходимо выполнить обработку результатов измерения диаметра вала машины K штангенциркулем ШЦ-1-250 (предел допустимой основной погрешности Δосн = 0,05 мм) .Результаты наблюдений получены в мм.

Таблица 2.1 – Исходные данные

№	Результат измерения xi ,мм	Число повторений результата (n)
1	100	2
2	105	3
3	110	4
4	115	5
5	120	6
6	125	5
7	130	6
8	135	7
9	140	6
10	145	10
11	150	9
12	155	6
13	160	8
14	165	6
15	170	4
16	175	6
17	180	4
18	185	5
19	190	3
20	195	3
		108

2.3 Практическое задание

1) Определяем среднее значение результатов измерений:

, (2.1)

где x_i- результат измерения i-го измерения, n- общее количество измерений. мм.

2) Определяем среднее квадратичное отклонение результата измерений:

, (2.2)

мм.

3) Определяем среднеквадратичное отклонение (СКО):

(2.3)

мм.

4) Поиск и исключение грубых погрешностей.

Для поиска и исключения грубых погрешностей используется критерий Граббса.

Критерий используется для проверки на аномальность наблюдений, принадлежащих выборкам из нормальной генеральной совокупности. Статистики критерия Граббса предусматривают возможность проверки на наличие в выборке либо одного аномального наблюдения (наименьшего или наибольшего), либо двух (двух наименьших в выборке или двух наибольших).

(2.4)

где - x_max=195, X_min= 100 где X_max и X_min – максимальное и минимальное значение результата.

G₁ и G₂ сравниваются с G_T, при выбранном условии значимости q. Если G₁ ≤ G_T и G₂ ≤ G_T, то значения x_max и x_min не считаются промахами и их сохраняют в ряду измерений.

P = 0,95 = 0,05 %

q=1-P=0,05=5%

n = 108

Используя таблицу критических значений Граббса определим G_T.

G_T=3,409[1], т.к условие выполняется, то x_max и x_min не являются промахами.

5)Определение доверительных границ случайной погрешности

5.1) Проверка нормальности закона распределения результатов измерений

При числе измерений n>50 для проверки нормальности закона распределения используется критерий Пирсона (χ²), для расчета которого все полученные результаты измерений необходимо разбить на r интервалов (от наименьшего к наибольшему).

Таблица 2.2

Число результатов измерений, n	Рекомендованное число интервалов, r
40 – 100	7 – 9
100 – 500	8 – 12
500 – 1000	10 – 16
1000 – 10000	12 – 22

Принимаем r = 10.

Ширина интервала построена во всем диапазоне :

(2.5)

Таблица 2.3.

№	Середина интервала, xi0	Число результатов измерений в интервале,	хi0 -х	zi		ni
1	104,75	5	-43,12	-1,75	0,0863	3,6	0,54
2	114,25	9	-33,62	-1,37	0,1561	6,51	0,95
3	123,75	11	-24,12	-0.98	0,2468	10,3	0,05
4	133,25	13	-14,62	-0,59	0,3352	13,98	0,07
5	142,75	16	-5,12	-0,21	0,3902	16,28	0,005
6	152,25	15	4,38	0,18	0,3925	16,38	0,12
7	161,75	14	13,88	0,56	0,3410	14,23	0,004
8	171,75	10	23,38	0,95	0,2541	10,6	0,03
9	180,75	9	32,88	1,34	0,1626	6,78	0,73
10	190,25	6	42,88	1,72	0,0909	3,79	1,29
						Σ =	3,789

Параметр z, рассчитывается по формуле:

Результаты вычислений приведены в таблице 2.3

Вероятность попадания результата измерений в i-ый интервал. Это значение определяется по дифференциальной функции Лапласа в зависимости от z_i:

Результаты определения приведены в таблице 2.3.

Число результатов измерений в интервале ( ), попадающих в интервал при нормальном распределении рассчитывается по формуле:

Результаты вычислений приведены в таблице 2.3

Для каждого интервала рассчитываем критерий Пирсона по формуле:

Результаты вычислений приведены в таблице 2.3

= 0,54+0,95+0,05+0,07+0,005+0,12+0,004+0,03+0,73+1,29=3,789

Полученное значение χ² сравнивается с критическими значениями χ²_н, χ²_в выбранными в зависимости от числа степеней свободы f и уровня значимости q.

;

Закон распределения считается нормальным, если выполняется условие:

2,17<3,789<14,01

Поскольку условие выполняется, то гипотеза о нормальном распределении результатов измерений применяется.

5.2) Определение доверительных границ случайой погрешности

Доверительные границы случайной погрешности определяется по формуле:

где t - коэффициент Стьюдента, определяемый в зависимости от доверительной вероятности P и числа n(табличное значение).

P = 0,95; n = 108; t = 1,9824 [1]

мм

6) Определение не исключенной систематической погрешности

Не исключённая систематическая погрешность измеряемой величины образуется из составляющих, в качестве которых могут быть приняты:

• Метод измерений (методическая погрешность)

• Средство измерений (инструментальная погрешность)

• Субъективная погрешность

Методическая и субъективная погрешности в данной работе не учитываются, следовательно, не исключённая систематическая погрешность равна инструментальной погрешности. В работе был использован штангенциркуль ЩЦ-1-250 (предел допустимой основной погрешности Δосн = 0,05 мм).

Следовательно:

=Δ_осн=±0,05мм, (2.14)

где – не исключенная систематическая погрешность.

7) Определение доверительных границ не исключенной систематической погрешности

Границы не исключенной систематической погрешности определяются по формуле:

где - границы i-ой не исключённой систематической погрешности; k -коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом составляющих .

Т.к. доверительная вероятность P = 0,95, то коэффициент k = 1,1.

8) Доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины

Границы погрешности измеряемой величины ∆ вычисляется по формуле:

где K - коэффициент, зависящей от соотношения случайной составляющей погрешности и не исключенной систематической погрешности; S_Σ - суммарное СКО, определяемое по формуле:

где - -СКО не исключённой систематической погрешности, которое оценивается в зависимости от способа вычисления не исключённой систематической погрешности по формуле:

Определяем K:

9) Результат измерений:

S=(147,87±4,69)мм при n=108 и Р=0,95.