2. Техническое задание

Ознакомиться и промоделировать работу системы с отказами и упорядоченным обслуживанием со следующими характеристиками:

Скорострельность каждой пусковой установки (выстрелов в минуту)	1/2
Вероятность поражения цели одной ракетой, р	0,65
Количество пусковых установок в одном канале обслуживания, g	2
Зона обстрела, а, км	45
Скорость движения ракет противника, , км/ч	1600
Среднее расстояние между ракетами I , км	5
Количество каналов обслуживания, n	2..4

Расчетные характеристики:

- плотность потока обслуженных заявок;

- вероятность занятости канала;

- среднее время простоя канала;

Создать аналитическую и имитационную модель СМО и проверить их адекватность.

3. Введение.

Рассматривается работа -канальной системы ПРО на вход которой поступают самолеты противника. Самолеты, пролетающие в пределах полосы налета, могут быть обстреляны любым из каналов данной системы ПРО.

Ширина полосы налета определяется возможностями обстрела всеми каналами любой цели в пределах полосы налета. Предполагается, что если ракета летит вне пределов полосы налета (слева или справа), тот эти ракеты не могут быть обстреляны ни одним из каналов данной системы ПРО.

Глубина зоны обстрела определяется рубежом перехвата и рубежом прекращения огня, которые являются одинаковыми для всех каналов. Если обозначить через среднюю дальность перехвата и через - среднюю дальность прекращения стрельбы, то можно записать следующее приближенное выражение для глубины зоны обстрела :

.

Необходимо отметить, что характеристики зоны обстрела и зависят также от скорости налетающих самолетов , высоты их полета и т.п.

При анализе системы ПРО в качестве канала обслуживания рассматривается канал наведения. Под каналом наведения будем понимать всю совокупность средств, обеспечивающих стрельбу по воздушной цели. Например, канал наведения может состоять из радиолокационной станции наведения и одной пусковой установки. Если одна станция наведения обеспечивается одновременно тремя пусковыми установками, то каналом наведения будет эта станция и три пусковых установки. Так как в рассмотрении имеется система ПРО с частичной «взаимопомощью» между каналами, то предполагается, что несколько каналов могут обстреливать одну цель.

Рис. 1. n-канальная системы ПРО

Основные характеристики СМО:

Эффективная скорострельность одного канала .

Каждая станция наведения (канал обслуживания) обеспечивается пусковыми установками, а каждая пусковая установка производит в среднем выстрелов в минуту. Тогда эффективная скорострельность одного канала определится так:

,

где – вероятность поражения цели одной выпущенной по ней ракетой.

При рассмотрении работы системы ПРО существенным является вопрос о получении информации о результатах стрельбы. Здесь возможны различные случаи.

Самым простым является случай, когда канал обслуживания обстреливает цель в течение времени после чего обстрел цели прекращается независимо от того, поражена цель или нет. Считая, что каждый из каналов производит пуассоновский поток эффективных (успешных) выстрелов с параметром , можно приближенно вычислить вероятность поражения цели одним каналом по формуле

.

Если считать, что каждый канал производит регулярный поток выстрелов с параметром , то вероятность поражения цели одним таким каналом можно приближенно вычислить по формуле

.

Если цель обстреливалась одновременно каналами и каждый из них поражает цель независимо от других, то вероятность поражения цели будет равна:

.

В рассматриваемом случае время обстрела должно быть меньше или по крайней мере равно времени пребывания цели в зоне обстрела . Среднее время пребывания цели в зоне обстрела будет

,

где – скорость полета самолета.

Случай, когда , характерен для системы ПРО, когда само время мало и нет возможности выяснить, поражена ли цель или нет за время ее обстрела, т. е. когда цель находится в зоне обстрела очень малое время.

Другой способ обстрела имеет место тогда, когда есть возможность получить и использовать информацию о поражении цели. Допустим, что время, проходящее между моментом поражения цели и моментом прекращения огня, есть случайная величина с математическим ожиданием . Если за начало отсчёта времени считать момент входа самолёта в зону обстрела, то при наличии свободных каналов это начало отсчёта совпадает с началом обстрела цели. В общем случае время пребывания в зоне обстрела будет случайной величиной с с математическим ожиданием . Цель будет не поражена, если время, требуемое для её поражения , будет больше времени пребывания цели в зоне обстрела . Если , то цель будет поражена. Время обстрела цели (или время занятости канала) в этом случае будет

,

так как при всех условиях обстрел ведётся до тех пор, пока цель находится в зоне обстрела. Если величина велика, то с большой вероятностью будет выполняться равенство , т. е. мы приходим к первому случаю обстрела цели, когда стрельба ведётся в течение всего времени пребывания цели в зоне обстрела (типично для системы ПРО, у которой время мало).

Таким образом, вероятность поражения цели при условии, что она обстреливается одним каналом, будет определяться как вероятность выполнения неравенства :

.

Имея ввиду принятое допущение о пуассоновском характере системы, будем считать, что среднее время, затрачиваемое на поражение цели, равно

,

а поток эффективных выстрелов является пуассоновским с параметром . Далее, в силу того, что мы рассматриваем только пуассоновские системы, будем считать, что время пребывания самолёта в зоне обстрела является показательным с параметром :

.

В этом случае можно доказать справедливость формулы

.

Если, кроме того, допустить приближённо, что сумма случайных величин распределена по показательному закону с математическим ожиданием , то можно доказать, что время занятости канала будет также подчинено показательному закону с параметром

.

Таким образом, поток освобождений канала ПРО, определяемый этим выражением, имеет интенсивность . Если время передачи информации мало, то это выражение примет вид

.

Таким образом, видно, что поток освобождений канала слагается из двух потоков: потока поражающих выстрелов с параметром и потока уходов непоражённых самолётов из зоны обстрела с параметром . Другими словами канал освобождается либо по причине поражения самолёта, либо по причине выхода самолёта из зоны обстрела непоражённым.

Если время передачи информации велико по сравнению со временем пребывания цели в зоне обстрела (типично для системы ПРО, у которой время мало), то

При анализе работы системы ПРО необходимо знать характеристики налета. Будем считать, что налетающие самолеты образуют пуассоновский поток с интенсивностью , который определяется так:

,

где – средний линейный интервал между самолетами.

Рассмотрим теперь заданную систему массового обслуживания (СМО) – систему ПРО с отказами и упорядоченным обслуживанием (упорядоченное обслуживание состоит в том, что заявки строго распределяются по свободным каналам, т. е. нет случайного распределения каналов и нет взаимопомощи). Рассмотрим два случая:

1. Время передачи информации о поражении самолёта велико, поэтому обстрел цели будет длиться практически в течение всего времени нахождения самолёта в зоне обстрела, тогда . В этом случае среднее число занятых каналов будет определяться по формуле:

.

Вероятность поражения цели (относительную пропускную способность) можно найти по формуле:

,

где

.

Абсолютная пропускная способность определяется по формуле:

.

Все остальные параметры определяются через так же, как в случае .

2. Если среднее время передачи информации сравнимо с величиной , а среднее время обстрела , то вероятность поражения самолёта в этом случае можно найти по формуле:

,

где . Среднее число занятых каналов можно найти по формуле:

,

где , а

В нашем случае время передачи информации мало и параметр освобождения канала определяется по формуле