Условие

Найдите сторону правильного треугольника, являющегося ортогональной проекцией треугольника со сторонами , 3 и на некоторую плоскость.

Решение

Пусть треугольник ABC , в котором AB = , BC = и AC = 3 , ортогонально проектируется на плоскость  и его проекцией является равносторонний треугольник. Будем считать, что вершина A лежит в плоскости  . Докажем, что тогда вершины B и C должны располагаться по одну сторону от плоскости  . Предположим, что это не так. Пусть точки B и C расположены по разные стороны от плоскости  (рис.1), а B₁ и C₁ – ортогональные проекции этих точек на плоскость  . Тогда в треугольнике BC₁C угол при вершине C₁ – тупой, поэтому BC > BC₁ . В то же время, BC₁ = AB как гипотенузы равных прямоугольных треугольников AB₁B и C₁B₁B . Значит, BC > AB , что невозможно, т.к. AB – наибольшая сторона треугольника ABC . Обозначим AB₁ = AC₁ = B₁C₁ = x , BB₁ = z , CC₁ = y (рис.2). Из прямоугольных треугольников AB₁B , AC₁C и из прямоугольной трапеции BB₁C₁C находим, что

x² + y² = 14, x² + z² = 9, x² + (y - z)² = 6.

Вычитая почленно первое уравнение из второго и третьего, получим систему

Далее имеем:

y = , z² - + 5 = 0, 4z⁴ - z⁴ - 16z² - 64 + 20z² = 0,

3z⁴ + 4z² - 64 = 0, z² = 4, x² = 9 - z² = 5.

Следовательно, x = .

Ответ

.

Условие

Дано изображение (параллельная проекция на некоторую плоскость) треугольника и центра описанной около него окружности. Постройте изображение точки пересечения высот этого треугольника.

Решение

При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых. Поэтому изображениями середин M и N сторон AB и AC треугольника ABC являются середины M₁ и N₁ сторон A₁B₁ и A₁C₁ треугольника A₁B₁C₁ – изображения треугольника ABC . Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC . Тогда CH || OM и BH || ON , где O – центр описанной окружности треугольника ABC . При параллельном проектирование сохраняется параллельность прямых. Поэтому C₁H₁ || O₁M₁ и B₁H₁ || O₁N₁ , где O₁ – изображение точки O . Отсюда выстекает следующее построение. Строим середины M₁ и N₁ данных сторон A₁B₁ и A₁C₁ . Через точки C₁ и B₁ проводим прямые, параллельные O₁M₁ и O₁N₁ соответственно. Точка H₁ пересечения построенных прямых есть искомое изображение точки пересечения высот треугольника ABC .

Условие

На плоскости нарисована линия, являющаяся изображением (параллельной проекцией на некоторую плоскость) окружности. Постройте изображение центра этой окружности.

Решение

Пусть A₁B₁ – изображение хорды AB окружности, M – середина AB . Поскольку при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину проекции этого отрезка, то изображение M₁ точки M есть середина A₁B₁ . Известно, что прямая, проходящая через середины двух параллельных хорд окружности, проходит через центр окружности. Кроме того, при параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых. Отсюда вытекает следующее построение. Строим два параллельных отрезка с концами на данном изображении окружности. Затем проводим прямую через середины этих отрезков. Таким образом, мы построили изображение P₁Q₁ какого-то диаметра PQ окружности. Середина O₁ отрезка P₁Q₁ есть изображение центра окружности.