Метод инвариантной импульсной характеристики

Вспомним, что одним из способов преобразования дробно-рациональной функции передачи аналоговой системы является ее представление в виде суммы простых дробей:

H(s) =

Где p_i – полюсы функции передачи;

r_i – вычеты;

С₀ – целая часть функции передачи.

При отсутствии кратных корней у знаменателя такое представление имеет следующий вид. Здесь – полюсы функции передачи, а числа называются вычетами. – целая часть функции передачи, отличная от нуля только в случае равенства степеней полиномов числителя и знаменателя.

При наличии кратных полюсов функции передачи разложение на простые дроби становится сложнее. Каждый m-кратный полюс дает m слагаемых следующего вида:

Представление функции передачи в виде суммы простых дробей позволяет вычислить импульсную характеристику системы, поскольку каждое слагаемое функции передачи вида (1), соответствует слагаемому импульсной характеристики вида (2).

Что касается кратных полюсов, то m-кратный полюс даст в выражении для импульсной характеристики m слагаемых следующего вида:

(3).

Резюмируя предыдущие два листа, импульсная характеристика аналоговой системы может быть представлена в виде суммы (1) экспоненциальных слагаемых (2), и при наличии кратных полюсов слагаемых вида (5). Каждое изэтих слагаемых может быть дискретизировано и воспроизведено в дискретном виде:

Метод инвариантной импульсной характеристики позволяет синтезировать рекурсивный дискретный фильтр путем дискретизации импульсной характеристики аналогового прототипа.

Экспоненциальные слагаемые вида после дискретизации дают последовательность отсчетов (3). Функция передачи этой последовательности равна (4). Такая функция передачи соответствует дискретному рекурсивному фильтру первого порядка.

Теперь займемся слагаемыми вида h₂(t), соответствующими кратным полюсам. Такое слагаемое дает после дискретизации последовательность отсчетов вида (6). Функция передачи соответствует дискретному рекурсивному фильтру n-го порядка (7).

Выполнив указанные преобразования всех слагаемых импульсной характеристики, мы получим дискретный фильтр, импульсная характеристика которого представляет собой дискретизированную версию импульсной характеристики аналогового прототипа.

Частотная характеристика получаемого фильтра связана с частотной характеристикой аналогового прототипа точно так же, как спектр дискретизованного сигнала связан со спектром сигнала аналогового – периодическим повторением. Поэтому для получения хороших результатов при таком методе синтеза коэффициент передачи аналогового прототипа должен быть пренебрежимо малым на частотах, превышающих частоту Найквиста. Отсюда следует также, что этот метод подходит для создания ФНЧ и полосовых фильтров, но не подходит для синтеза ФВЧ и режекторных фильтров.

Функция impinvar

Функция impinvar предназначена для синтеза дискретных фильтров по произвольным аналоговым прототипам методом инвариантной импульсной характеристики. Синтаксис вызова функции следующий:

[bz, az] = impinvar(b, a, Fs, tol)

Где: b и a входные параметры – коэффициенты числителя и знаменателя функции передачи аналогового прототипа;

Fs – частота дискретизации (по умолчанию ее значение равно 1 Гц).

tol – параметр, задает относительный порог обнаружения кратных полюсов. Два близко расположенных полюса считаются сопадающими, если расстояние между ними, деленное на больший из их модулей, меньше tol.

В качестве примера синтезируем методом инвариантной импульсной характеристики ФНЧ Чебышева 2-го порядка с частотой среза 10 кГц, причем специально выберем недостаточно высокую частоту дискретизации (48 кГц), чтобы хорошо видеть эффекты, связанные с наложением сдвинутых копий спектра.

Код программы:

>> f0 = 10e3; %частота среза

>> [b, a] = cheby1(2, 3, f0*2*pi, 's'); %аналоговый фильтр

>> % частота дискретизации

>> Fs = 48e3;

>> %дискретный фильтр

>> [bz, az] = impinvar(b, a, Fs);

>> %ЧХ дискретного фильтра

>> [hz, wz] = freqz(bz, az, [], Fs, 'whole');

>> %ЧХ аналогового фильтра

>> h = freqs(b, a, 2*pi*wz);

>> plot(wz, abs(h));

>> hold on;

>> p2 = plot(wz, abs(hz));

>> set(p2, 'Color','green');

>> hold off;

>> zlabel('Frequency (Hz)');

>> ylabel('Magnitude');

>> xlim([0 Fs]);

>> grid on;

На рисунке хорошо видно, что из-за недостаточно высокой частоты дискретизации коэффициент передачи аналогового фильтра на частоте Найквиста недостаточно мал, что обуславливает заметные искажения формы АЧХ синтезированного фильтра. Повышение частоты дискретизации позволяет сделать эти искажения пренебрежимо малыми.

Рисунок – характеристики ФНЧ Чебышева 2-го порядка с частотой среза 10 кГц