1. Отрицание.

Отрицанием высказывания х называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.

Отрицание высказывания х обозначается и читается «не х» или «неверно, что х». Например, отрицанием высказывания «Пингвин - птица» является высказывание «неверно, что пингвин - птица» или, что то же самое, «Пингвин не является птицей»,»

Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы:

x 1 0 0 1

Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности

Обращаем внимание, чтобы одно высказывания стало отрицанием другого обязательно должно выполняться условие: они должны иметь одновременно противоречивые истинностные значения.

Объясните, почему высказывания «он мне друг» и «он мне враг» не являются отрицаниями друг друга.

Пусть х высказывание. Так как также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое называется ДВОЙНЫМ ОТРИЦАНИЕМ высказывания х. Ясно, что логические значения высказываний и х совпадают.

Например, для высказывания «Байкал - озеро» отрицанием будет высказывание «Неверно, что Байкал - озеро» или «Байкал не является озером», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что Байкал не является озером».

x 1 0 1 0 1 0

Двойное отрицание высказывания а имеет тот же смысл, что и исходное высказывание.

2. Конъюнкция (логическое умножение).

Конъюнкцией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x, y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно (т.е. в остальных случаях).

Конъюнкция высказываний x, y обозначается символом x&y или (xy), читается «x и y». Высказывания x, y называются членами конъюнкции. Все возможные логические значения конъюнкции двух высказываний x и y описываются следующей таблицей истинности.

x xy 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

Например, для высказываний «40 делится на 2», «40 делится на 5» их конъюнкцией будет высказывание «40 делится на 2 и 40 делится на 5», которое, очевидно, истинно. Данное высказывание можно сформулировать короче: «40 делится на 2 и на 5»

Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далекие друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний. (Например: «В огороде бузина и в Киеве дядька»).

Из определения операций конъюнкции и отрицания ясно, что высказывание всегда ложно.