Методика шмидта расчёта холодильной машины стирлинга

Цель методики: по заданным параметрам, а именно температурам горячей и холодной полостей Т_Г и Т_Х, оборотам вращения коленчатого вала n, давлению заправки Р_З определить геометрические размеры рабочих полостей и рассчитать энергетические характеристики базового образца: теплоту внешнего источника Q₁, и работу цикла L_Ц.

В методике предусмотрено гармоническое движение поршней и отдельных узлов машины, но оставлены как основные допущения изотермичность процессов сжатия и расширения и идеальность регенерации. Таким образом, и эта теория идеализированная, но более реалистичная, чем идеальный цикл Стирлинга. [2]

Основные допущения, принятые в цикле Шмидта:

1. регенеративные процессы идеальные;

2. мгновенные значения давлений в системе одинаковые;

3. рабочее тело подчиняются уравнению состояния для идеального газа

4. отсутствуют утечки рабочего тела; масса рабочего тела остается постоянной;

5. изменения объёмов газа в рабочих полостях происходят синусоидально;

6. температурный градиент в теплообменниках отсутствует;

7. температуры стенок цилиндра и поршня постоянны;

8. в полостях цилиндра происходит идеальное перемешивание рабочего тела;

9. температура рабочего тела во вспомогательных полостях системы постоянны;

10. частота вращения машины постоянна;

11. условия состояния – установившиеся.

1 Определение оптимального угла поворота

Оптимальным углом _ОПТ называется угол поворота коленчатого вала, при котором суммарный объём рабочих полостей максимален. При таком положении коленчатого вала при гармоническом законе изменения объёмов рабочих полостей количество заправленного рабочего тела будет максимально.

Текущие объёмы рабочих полостей:

- горячей полости

V_г = 0.5V_ог(1 + cosφ) (1.1)

- холодной полости

V_x = 0.5КV_ог(1 + cos(φ – π/2)) (1.2)

Выразим объём заправки через объёмы горячей, холодной и регенеративной полости

V_з= V_Σmax= (V_г + V_x + V_p )_max при φ_опт (1.3)

V_з= (0,5V_ог(1 + cosφ) + 0.5КV_ог(1 + cos(φ - π/2)) + V_огх) (1.4)

V_р= V_огх (1.5)

Суммарный объём можно записать в виде:

Из этого уравнения выразим . После преобразований получим:

(1.6)

Полученное значение подставляем в уравнение 1.3 и находим V_З, но для этого в начале необходимо найти неизвестное значение V_ог .

Для нахождения искомого параметра необходимо определить давление в цикле как функцию от угла поворота : .

2 Расчёт текущего давления в цикле

Масса рабочего тела в горячей полости определяется по уравнению состояния как

, (2.1)

аналогично для холодной полости

(2.2)

и мёртвого объёма

. (2.3)

При этом .

Так как общая масса рабочего тела во внутреннем контуре остаётся постоянной, то

или (2.4)

Отсюда текущее давление в цикле:

(2.5)

При известном объёме заправки , температура заправки и давления заправки , общая масса, т.е. массы заправки рабочего тела определяется как

. (2.6)

Если допустить, что изменение температуры рабочего тела в мёртвом объёме проходит в осевом направлении по линейному закону, то средняя температура рабочего тела в мёртвом пространстве определяется в первом приближении как среднеарифметическая:

(2.7)

Текущее давление с учетом выше принятого определяется выражением

(2.8)

Следовательно

Из (2.8) следует, что давление и характеристики рабочего процесса термодинамически не связанны с газовой постоянной . Текущее давление в цикле не зависит от величины описанного объёма рабочих полостей. Из выражения (2.8) также видно, что текущее давление рабочего тела зависит при Т_Х=const и T_Г=const и Х, от угла поворота коленчатого вала  рисунок 2. Задаваясь  от 0 до 360 градусов необходимо построить зависимость

Рисунок 2 – Зависимость давления от угла поворота.

Т.к. масса рабочего тела в каждой из полостей непрерывно изменяется, то работу сжатия и расширения в удельных величинах подсчитать нельзя. По этой же причине нельзя определить удельную работу для всего внутреннего контура. В связи с выше изложенным, цикл в механических координатах P-V правомерно изображать и оценивать по величине полного объёма V, м³.