§2.Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности события.

Под вероятностью события А понимается математическая (количественная) оценка возможности появления этого события в результате опыта.

Определение. (Классическое определение вероятности) Вероятность события А равна отношению числа исходов опыта, благоприятствующих событию А, к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Здесь

P(A) – вероятность события А

m – число исходов опыта, благоприятствующих событию А

n – общее число исходов опыта.

Очевидно, что для достоверного события m = n, для невозможного события m = 0, для случайного события 0 < m < n. Таки образом, справедливо утверждение:

Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного – равна нулю, вероятность случайного события выражается числом, расположенным между нулем и единицей. Значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет

а) красным, б) зеленым, в) белым.

Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.

Число всех исходов опыта равно числу шаров, т.е. n = 10, число благоприятствующих событиям исходов соответственно равно m_A =3, m_B = 2, m_C = 10 – 5 = 5.

Тогда, в соответствием с формулой классического определения вероятности, получаем:

Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное.

Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные. Например, при проведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д. В этой связи вводится понятие статистической вероятности события.

Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.

W(A) = ,

W(A) – относительная частота события А; m – число опыта, в которых событие А произошло; n – общее число проведенных опытов.

Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Если при 12 выстрелах по мишени попадание отмечалось в 8 выстрелах, тогда, относительная частота попадания равна W(A) = .

При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа p. Это число может быть принято за статистическую вероятность события.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, связанный с бесконечностью числа элементарных исходов опыта, вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).

Введем понятие мера множества S: (обозначим Ω(S))

• Для множества точек на числовой прямой мерой является длина соответствующего числового промежутка;

• Мерой множества точек на плоскости является площадь фигуры, содержащей все эти точки;

• Мерой множества точек трехмерного пространства является объем соответствующего тела.

Так, если на отрезке AB длиной Ω(AB) = L выделен отрезок A₁B₁ длины Ω(A₁B₁) = l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок A₁B₁ равна отношению l/L.

Пример: Найти вероятность тог, что случайно брошенная в квадрат со стороной 4

единицы точка попадет в заштрихованную область (см. рисунок).

Решение: Площадь всего квадрата Ω(S) = 4·4 = 16; площадь отмеченной части Ω(s) = 9. Искомая вероятность: P = 9/16 = 0,5625.