5.3. Транспонированная матрица. Умножение матриц. Элементарные матрицы

Матрицей, транспонированной к матрице M размерности n x m, называется матрица, обозначаемая через M^T, размерности m x n, строками которой являются столбцы матрицы M и поэтому столбцами – строки матрицы M. Матрицей, транспонированной к есть матрица .

Две матрицы размерности n x m можно складывать поэлементно:

.

Матрица размерности n x k и матрица размерности k x n могут быть перемножены в соответствии с правилом:

Элемент c_ij произведения матриц является скалярным произведением i-ой строки матрицы и j-го столбца матрицы . Результирующая матрица имеет размерность n x m.

Умножение матрицы M размерности n x m слева на матрицу P, которая имеет по одной единице в каждой сроке и в каждом столбце и нули на месте остальных элементов, приводит к перестановке строк матрицы M.

Пример:

Данная операция эквивалента первой элементарной операции над строками матриц.

Вторая элементарная операция - путем умножения матрицы M слева на матрицу, содержащую нули вне главной диагонали, элемент с (скаляр - ненулевой элемент поля) в j-ой строке на главной диагонали и единицы на всех остальных местах главной диагонали.

Пример:

Третья элементарная операция – путем умножения слева на матрицу, которая содержит единицы на главной диагонали, с на месте пересечения j-го столбца и k-ой строки и нули на остальных метах.

Пример:

Матрицы таких типов называются элементарными матрицами.

Теорема 2. Каждая невырожденная матрица обладает левой обратной матрицей, которая может быть представлена в виде произведения элементарных матриц.

Если невырожденную матрицу M размерности n x n привести к ступенчатой канонической форме, то получится единичная матрица. Поскольку матрица M может быть приведена к ступенчатой канонической форме путем элементарных операций над строками, то существует некоторый набор элементарных матриц , произведение которых на M дает единичную матрицу:

.

Таким образом, матрица является левой обратной матрицей по отношению к матрице M.

Задание: найти обратную левую матрицу для матрицы из вышеприведенных примеров.

Теорема 3. Если M есть матрица размерности n x m, а S – невырожденная матрица размерности n x n, то произведение матриц S и M имеет то же самое пространство строк, что и матрица M.

Строки произведения SM являются линейными комбинациями строк матрицы M, и поэтому пространство строк матрицы SM содержится в пространстве строк самой матрицы M. Так же S обладает левой обратной матрицей S^-1, и строки матрицы S^-1SM=M являются линейными комбинациями строк матрицы SM. Следовательно, эти пространства должны совпадать.

5.4. Понятие нулевого пространства строк матрицы

Теорема 1. Совокупность всех наборов длины n, ортогональных подпространству V₁ наборов длины n, образует подпространство V₂ наборов длины n. Это подпространство V₂ называется нулевым пространством для V₁.

Доказательство: Пусть V₁ – подпространство векторного пространства все наборов длины n над некоторым полем, V₂ – множество всех наборов, ортогональных каждому вектору из V₁, v – любой вектор из V₁, а u₁ и u₂ – любые векторы из V₂. Тогда и . Поэтому вектор принадлежит V₂. Кроме того, так, что вектор cu₁ принадлежит V₂. Таким образом, множество V₂ должно быть подпространством.

Пример:

Пусть дано подпространство V₁ векторного пространства V наборов длины 4 над полем Галуа GF(2):

,

тогда следующие вектора из пространства V образуют нулевое пространство для V₁:

(0000), (0100), (1000), (1100). Каждый из этих векторов ортогонален каждому вектору из V₁.

Теорема 2. Если вектор ортогонален каждому из векторов, порождающих подпространство V₁, то этот вектор принадлежит нулевому пространству для V₁.

Пример:

Из предыдущего примера: базисом подпространства V₁ является совокупность векторов: (0001), (0010). Все вектора длины n=4, которые ортогональны двум базисным векторам, (0000), (0100), (1000) и (1100) принадлежат нулевому пространству V₁.

Теорема 3. Если размерность подпространства наборов длины n равно k, то размерность нулевого пространства равно n-k.

Пример:

Из предыдущих двух примеров: размерность подпространства V₁ k=2, при n=4. Нулевое пространство V₂ для подпространства V₁ содержит три пары линейно независимых векторов. Так, один из базисов подпространства V₂ представляет собой два вектора (0100) и (1000). Следовательно, размерность этого подпространства равна 2, т.е. n-k=4-2=2.

Теорема 4. Если V₂ подпространство наборов длины n и V₁ – нулевое пространство для V₂, то V₂ – нулевое пространство для V₁.

Нулевое пространство для пространства строк матрицы называется нулевым пространством матрицы. Вектор принадлежит нулевому пространству матрицы, если он ортогонален каждой строке матрицы.

Если M₁ и M₂ – две матрицы, содержащие по n столбцов, и матрица M₁M₂ состоит только из нулей, то пространство строк матрицы M₂ содержится в нулевом пространстве для матрицы M₁ и наоборот.