2 Обработка косвенных видов измерений
Исходные данные:
Х1
10,6; 9,6; 10,9; 11,6; 10,9; 11,7; 10,8; 10,9; 11,7; 10,3;12,7; 11,9; 11,8; 12,5; 10,5; 11,6; 10,1; 11,3; 10,7; 10,5.
Х2
16,26; 16,24; 16,26; 16,38; 16,25; 16,25; 16,27; 16,29; 16,25; 16,17; 16,35; 16,13; 16,15; 15,67; 16,26; 16,25; 16,25; 16,25; 16,22; 16,39
Уравнение связи:
Расчет первого аргумента Х1 уже был произведен.
Произведем расчет второго аргумента X2.
А Точечная оценка
1)Ранжируем исправленный ряд результатов:
15.67; 16.13; 16.15; 16.17; 16.22; 16.24; 16.25; 16.25; 16.25; 16.25; 16.25;
16.25; 16.26; 16.26; 16.26;16.27; 16.29; 16.35; 16.38; 16.39;
2)Находим среднее арифметическое :
= 16,227
3) Проверяется правильность вычислений
0.033+0.013+0.033+0.153+0.023+0.023+0.043+0.063+0.023-0.057+0.123+0.097-0.077-0.557+0.033+0.023+0.023+0.023-0.007+0.163=0;
4)Определим оценку среднего квадратического отклонения (с. к. о.):
а) Оценка с. к. о. отдельного результата наблюдения (формула Бесселя):
б) Оценка с. к. о. среднего арифметического :
Б Критерии грубых погрешностей
5)Критерий Грабса или n – критерий:
;
tГ = f (q; k) = f (10%; 19) = 2,601, где q=1 - pД = 1- 0,90=0,10=10%;
k=n-1=20-1=19.
Получаем,
что ti
<
tГ,
значит, результат
=16,39;
значит погрешность не грубая.
=
;
tГ = f (q; n) = f (10%; 19) = 2,601.
где q=1 - pД = 1- 0,90=0,10=10% - уровень значимости;
k=(n-1)=(20-1)=19 – число степеней свободы.
Получаем, что ti > tГ, значит, результат =15,67, как промах отбрасываем и расчеты повторяем при новом числе наблюдений n=19.
=16,25632 ;
=
;
=
;
=
= 1,7776
при xi
=
;
tГ = f (q; k) = f (10%; 18) = 2,577.
k=n-1=19-1=18 – число степеней свободы.
Получаем, что ti < tГ, значит, грубых погрешностей нет;
=
;
при
=16,13;
tГ = f (q; n) = f (10%; 18) = 2,577.
где q=1 - pД = 1- 0,90=0,10=10% - уровень значимости;
k=(n-1)=(20-1)=18 – число степеней свободы.
Получаем, что ti < tГ, значит, грубых погрешностей нет и расчет продолжается.
В Интервальная оценка
6)Оценим доверительный интервал математического ожидания :
Воспользуемся формулой Петерса:
=
∙ 1,033=
0,06996;
т.к. , то воспользуемся распределением Стьюдента:
= 1,73∙0,0752= 0,130096.
где tp = f(q; k)= f(10%; 18)= 1,73.
Оценим доверительный интервал с. к. о. (доверительную вероятность возьмем равной 0.9):
где
=
∙ 0,0752= 0,10411;
где c2Н = f (k; qН) = f (18; 95%) = 9,390, т.е. = 3,06431;
т.к. qН = 1– pН = 1 - (1 – pД)/2 = 1 – (1-0,9)/2 = 0,95 = 95%.
=
∙ 0,0752= 0,05938,
где c2В = f (k; qВ) = f (18; 5%) =28,869, т.е. = 5,37298,
т.к. qВ = 1– pВ = 1 - (1 + pД)/2 = 1 – (1+0,9)/2 = 0,05 = 5%.
Записываем результаты измерения:
,
при pД
= 0,95,
при pД = 0,9.
Итак, X2 = 16,25632 0,130096, при pД = 0,95,
0,05938≤ 0,0752≤ 0,10411, при pД = 0,9.
Возвращаемся к обработке косвенных видов измерений:
7)Исходя из уравнения связи, оценим искомый результат:
=
11,13;
;
;
8)Найдем коэффициенты влияния:
b1
=
=
=
=0,00378;
b2
=
=
=
-0,005181;
Коэффициент корреляции:
=
0,908.
Оценка дисперсии искомого результата:
=0,00000049,
т.е.
=
=
0,0007.
Оценка погрешности искомого результата:
Воспользуемся распределением Стьюдента при малом числе наблюдений:
где
.
Эффективное число степеней свободы:
=
±2,09
=
±0,00146, где
=2,09.
(При
k=20);
Окончательный результат:
Y=0,04211
±0,00146,
при
0,95.
2.5. По известной расчетной зависимости косвенного метода измерения (искомый результат) и по известным результатам и погрешностям прямых измерений получить формулу и среднеквадратическую оценку погрешности косвенного измерения δyск.
Исходные данные:
Расчетная зависимость:
Результаты прямых измерений |
Погрешности прямых измерений |
a=50 |
∆a=1 |
b=90 |
∆b=3 |
c=60 |
∆c=2 |
d=70 |
∆d=2 |
e=40 |
∆e=1 |
Прологарифмируем расчетную зависимость:
Дифференциал функции:
∆y=0,2525∙0,1006=0,0254;
Среднеквадратическая оценка погрешности косвенного измерения δyск:
δyск=