2.2.2 Расчет Фурье-обьектива

Операцию преобразования Фурье выполняет оптический Фурье-анализатор, состоящий из транспаранта с входным изображением и объектива с положительной оптической силой. Если транспарант освещает плоская монохроматическая волна, то его Фурье-образ (спектр пространственных частот) формируется в дальней зоне в результате дифракции света на структуре транспаранта. Объектив переносит спектр из бесконечности в свою фокальную плоскость, где он представляется в ви­де комплексной амплитуды волнового поля.

Точное теоретическое соответствие распределения амплитуды поля в фокальной плоскости объектива и двумерного преобразования Фурье от амплитуды поля непосредственно за транспарантом возможно лишь в случае идеального объ­ектива с неограниченной апертурой. Конечность апертуры реального объектива, а также неизбежные аберрации снижают точность преобразования Фурье и разрешение в спектре пространственных частот, поэтому к Фурье-объективу предъявляют­ся весьма высокие требования. Прежде всего, у него должен быть значительный апертурный угол и хорошо скорректированные монохроматические аберрации. С другой стороны, Фурье-объектив должен иметь, возможно, более низкий уровень когерентного шума, возникающего из-за попадания в спектральную плоскость рассеянного на неоднородностях, а также отраженного и переотраженного от поверхностей оптического элемента света. Ясно, что для этого необходимо уменьшить число линз в объективе.

В качестве Фурье-объектива выберем двухлинзовый апланатический объектив, методика расчета которого изложена в литературе [5].

На первом этапе расчета будем считать объектив тонким, т.е. сумма толщин его компонентов и воздушных промежутков между ними равна нулю.

Тонкий объектив из двух линз при выбранных марках стекол обладает четырьмя независимыми переменными, а именно, двумя оптическими силами Ф₁ и Ф₁ и двумя основными параметрами линз W₁ и W₂. Так как объектив должен иметь заданное фокусное расстояние f’ или силу Ф, то оптические силы линз связанны зависимостью: Ф₁ + Ф₂ = Ф. После этого остаются три свободные переменные W₁, W₂ и одна из оптических сил линз. Эти три свободные переменные могут быть использованы для исправления двух аберраций: сферической и комы.

Будем рассматривать объектив как систему, состоящую из двух однолинзовых компонентов. Силы линз обозначим через Ф₁ и Ф₂. Расчет произведем при фокусном расстоянии всего объектива, равном единице, т.е. при f’ = 1. При d = 0 и h₁ = h₂ = h₃ = h₄ = h имеем следующие условия для расчета объектива:

- условие масштаба Ф₁ + Ф₂ = 1;

- условие апланатизма

S_I = h₁P* = h₁(P_k+P_k) = О;

P* = P1*+P2* =0;

S_II = -IW* = -I(W_k+W_k) =0; (2.19)

W* = W1*+W2* =0.

Возьмем Ф₁ = 1.4, тогда Ф₂ = - 0.4.

Компоненты Фурье-объектива изготовлены из стекла ТФ5 с показателем преломления п =1.727 для рабочей длины волны, равной 1.06 мкм.

Положим, что ₅ = 1 (рисунок 2.6).

Тогда ₁ = 0;

₅ = 1;

h₁=f;

₃ = _1;

₁ = 1.4, значения ₂ и ₄ неизвестны.

Рисунок 2.6 - Компоненты Фурье-объектива

Напишем выражения для Р* и W* как функции основных параметров линз:

( 2.20)

Далее заменим P₁ и Р₂ по формуле:

P = P_min + 0.85(W-0.14)2, (2.21)

и, введя в нее для упрощения расчета новую величину V, получим

V = W-0.14; W = V + 0.14,

тогда из формулы (2.21) будем иметь:

P = P_min + 0.85V2.

Из формул (2.19), полагая в них ₁ = 0, ₃ = 1.4,₅ = 1, P_min1 = P_min2 = 1.295,  = Ф₁/n₁ + Ф₂/n₂ = 0.579,

получим следующую систему уравнений:

2.332V₁² - 0.054V₂² + 0.896V₂ + 0.111 = 0;

1.96V₁+0.16V₂-1.148 = 0.

Эта система уравнений дает два решения:

1. V₁= 0.69; V₂ = -1.263;

2. V₁= -0.968; V₂ = 18.947.

Выбираем первый вариант.

Значения углов ₂ и ₄ найдем по формуле:

(2.22)

₂ = 0.412,

₄ = 0.933.

И, наконец, определим углы ₂ и ₄:

k₂ = (₃-₁)/₃,

где ₃ = 1;

₂ = k₂_{2 ;}

k₄ = (₅-₃)/₅,

где ₅=1;

₄ = k₄₄+₃/n ;

₂ = 0.577;

₄ = 0.437.

Теперь можно вычислить радиусы кривизны поверхностей по формуле:

(2.23)

.

Для получения значений r_k в объективе с фокусным расстоянием f’  1 в формуле (2.23) следует взять h₁ = f’ и при вычислении радиусов учесть толщины линз. Последующие высоты находятся по формуле:

h_k+1 = h_k + _kd_k.. (2.24)

амплитудной и частотной погрешностей оптического Фурье-преобразования.

Пусть относительная частотная погрешность Δν = 1%, а максимальная относительная амплитудная погрешность Δ_a^max = 2.8%:

Δ_a^max (² + r)/f’²,

где  – радиус рабочей апертуры в частотной плоскости,

r – радиус рабочей апертуры во входной плоскости.

Для обеспечения спектрального анализа с частотной погрешностью, не превышающей 1%, радиус рабочей апертуры в частотной плоскости должен удовлетворять условию _max  0.14f’. Из вышеперечисленных формул следует, что f’ = 150 мм. При этом _max  21 мм. Максимальная пространственная частота, анализируемая с заданной погрешностью Δν = 1%, v_max = _max /f’ = 132 1/мм.

Входным зрачком Фурье-объектива является кадровое окно транспаранта. Диаметр входного зрачка D_вх.зр равен диаметру рабочей площадке транспаранта D_т, а угол поля – максимальному углу дифракции 2θ_Д = 2v лазерного излучения на транспаранте (v = 40 1/мм).

Таким образом, D_вх.зр = 20 мм, 2θ_Д = 0.0742 рад (4.252°).

Диаметр Фурье-объектива D_фо = D_т + 2f’tg θ_Д = 31.13 мм.

С учетом крепления линз объектива в оправе резьбовым кольцом:

D_{фо полн} = 31.13 + 2 = 33.13 мм.

Округляем полеченное значение до D_{фо полн} = 34 мм.

Возьмем d₁ = 6 мм, d₂ = 3.5 мм, а расстояние между линзами объектива d₃ = 1.5 мм. Вычислим радиусы линз объектива по формулам (2.23) и (2.24):

r₁ = 109.435 мм;

r₂ = - 264.009 мм;

r₃ = -162.725 мм;

r₄ = - 423.54 мм.