Тройной интеграл.

Пусть в пространстве задано тело, объём которого равен V. Предположим, что в каждой точке этого объёма определена функция

1. Разобьем тело на n малых тел причём /в дальнейшем V и обозначают как тела, так и их объёмы/.

2. В каждом из малых тел выбираем произвольным образом по точке Умножим значение функции в каждой точке на соответствующий объём малого тела, которому принадлежит точка :

3. Составим сумму таких произведений

которая называется интегральной суммой.

- как и прежде, диаметр наибольшего из разбиений .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения объёма на части , ни от выбора в каждом из них точки , то это число называют тройным интегралом от функции по области и обозначают

или

То есть

Видно, что тройной интеграл является непосредственным обобщением двойного интеграла на случай, когда областью интегрирования является тело трёх измерений.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов аналогично тому, как это было сделано для двойного интеграла.

Вычисление объёма тел с помощью тройных интегралов.

Если в тройном интеграле подынтегральная функция , то тройной интеграл численно равен объёму тела V. /Следует помнить, что мы одной буквой обозначаем и область, и её объём./

.

Этот интеграл далее сводим к повторным интегралам, пределами которых будут пределы изменения переменных x, y, z в данном теле V.

Пример 7.

С помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями;

z = y, z = 0, x = 0, x = 4, x² + y² = 25

Р ешение.

В начале покажем решение такого типа задач с построением тела. x² + y² = 25 – на плоскости Oxy это окружность, в пространстве – круговой цилиндр, x = 4 – на плоскости прямая, в пространстве – плоскость, параллельная плоскости Oyz, x= 0 –плоскость Oyz, z = y – на плоскости Oyz – это биссектриса, в пространстве – плоскость. Тогда можно вычислить тело V. В этом теле переменная x изменяется от 0 до 4, переменная y изменяется от 0 до окружности x² + y² = 25, то есть до , /см. пример 5/, переменная z изменяется от 0 /плоск. z = 0/ до накрывающей тело поверхности , то есть до z = y.

Тогда

П ример 8.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 0, z = y², x – y = 0, x + y =2

Решение.

Решим задачу, не прибегая к точному построению тела.

Поверхность z = f(x,y), ограничивающая тело сверху, есть z = y². Снизу тело ограничено областью . Вычертим её. Для этого положим в уравнении поверхности z = 0, тогда y² = 0, то есть y = 0, и рассмотрим линии, уравнения которых не содержат z: x – y = 0, x + y = 2.

Построим линии: y = 0, y = x, y = 2 – x

Они ограничивают область . Для такой области удобнее взять внешний интеграл по переменной y, в противном случае, вместо одного пришлось бы вычислять два интеграла. В области переменная y изменяется от 0 до y₁. Найдем y₁ как ординату точки пересечения прямых y = x и y = 2 – x.

Имеем: .

Тогда в области переменная y изменяется от 0 до 1. Возьмём на этом промежутке производную точку y и проведём через неё прямую, параллельную оси Ox, тогда переменная x в области изменяется от x_вх до x_вых; x_вх – это абсцисса x прямой y = x, то есть x_вх = y, а x_вых – это абсцисса прямой x + y = 2. Из этого уравнения x_вых = 2- y. Аппликата z в теле V изменяется от плоскости z = 0, то есть от 0 до накрывающей тело поверхности z = y². Поэтому:

Криволинейный интеграл второго рода.

Векторным полем называется область, каждой точке которой поставлен в соответствие вектор , проекции которого на координатные оси являются функциями координат точки M(x,y). P = P(x,y), Q = Q(x,y), то есть -вектор-функция. /Аналогично в пространстве/.

Пусть в некоторой области задана кривая L /дуга AB/ и вектор-функция , определённая в каждой точке кривой L.

1. Разобьем дугу AB точками A₀, A₁, …, A_n на n дуг. Пусть (x_i,y_i) – координаты точек A_i(i=0,1, …,n);

2. На каждой дуге выбираем произвольным образом по точке . Составим скалярное произведение вектора , взятого в точке M_i на вектор

.

3. Составим сумму таких произведений /интегральную сумму/ и перейдём к пределу при . - длина наибольшего из звеньев ломанной, вписанной в дугу, - длина наибольшего из звеньев дуг . При , и каждая из дуг стягивается в точку.

Предел этой интегральной суммы при , не зависящий от способа разбиения дуги АВ на элементарные части и от выбора на каждой из них точек M_i , называется криволинейным интегралом II рода или по координатам:

Вычисление криволинейного интеграла второго рода

I. Пусть дуга L задана параметрическими уравнениями

, ,

Причем функции x(t), y(t) непрерывны и имеют непрерывные производные первого порядка при . Пусть начальной точке А дуги АВ соответствует значение параметра t= α , конечной точке В соответствует значение t= β и при изменении t от α до β переменная точка M(x,y) описывает дугу в направлении от точки А к точке В. P(x,y), Q(x,y) – непрерывные функции. Тогда эти сложные функции P[x(t),y(t)]; Q[x(t),y(t)] – непрерывны при .

,

и получаем формулу, позволяющую свести вычисление криволинейного интеграла II рода к вычислению определенного интеграла:

2. Если плоская кривая задана уравнением y = (x), , то из пункта 1 получаем:

Вывод. Таким образом, исходя из уравнений (или уравнения) линии АВ, преобразуем подынтегральное выражение к одной переменной, значения которой в начале и в конце дуги АВ будут пределами определенного интеграла.

Пример 9.

Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги параболы y=3x² от точки А(1,3) до точки О(0,0).

Решение:

Так как кривая задана уравнением y= φ(x) и при перемещении от точки А до точки В переменная х изменяется от х_А до х_В , то криволинейный интеграл II рода сводится к определенному интегралу по формуле

В нашем случае y=3x², y’=6x, x изменяется от 1 до 0. Поэтому

.

Пример 10.

Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L окружности x=cost, y=sint .

Решение

Так как кривая задана параметрически x=x(t), y=y(t), ( ), то криволинейный интеграл II рода сводится к определенному интегралу по формуле

.

Найдем дифференциалы dx=(cost)’dt=-sintdt

dy=(sint)’dt= cost dt

Тогда

.