Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

Найти рациональные корни многочленов:

5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10

Многочлены многих переменных Основная теорема теории симметрических многочленов

Выразить через основные симметрические многочлены

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.

Формулы Виета

Найти значение симметрического многочлена от корней уравнения :

7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.

Системы уравнений

Решить симметрические системы уравнений:
8.1.		8.2.
8.3.		8.4.
8.5.		8.6.
8.7.		8.8.
8.9.		8.10.

Требования к выполнению контрольной работы

Контрольная работа должна быть выполнена в тетради, на обложке которой обязательно должны быть указаны:

факультет, курс, группа, фамилия, № зачетной книжки, номер варианта, и домашний адрес.

Во избежание недоразумений следует полностью записывать условия задач. В тетради должны быть оставлены поля для замечаний преподавателя. Ход решения каждой задачи следует пояснять. Задачи записывать в том порядке, в котором они даны в контрольной работе.

Записи в тетради должны быть аккуратными, четкими и ясными. Чертежи должны быть выполнены карандашом, с помощью циркуля и линейки. Не следует выполнять контрольную работу красными чернилами. Работа должна быть отослана на проверку строго в указанный срок. Во время сессии контрольные работы не принимаются и не проверяются.

Контрольная работа может не быть зачтена не только в случае, если сделано много ошибок, но и в случае, если выполнен чужой вариант, а также при обнаружении явного списывания.

Пример выполнения контрольной работы

1. Разложить многочлены по степеням х–2: .

Решение:

1) Разделим исходный многочлен на двучлен х–2 с помощью схемы Горнера. Получим: .

Далее, неполное частное снова разделим на двучлен х–2 с помощью схемы Горнера. Получим:

.

Наконец, разделив новое неполное частное на двучлен х–2, получим .

Таким образом, получаем:

Результаты последовательного применения схемы Горнера приведены в таблице:

	4	–2	5	–1
2	4	4·2–2=6	6·2+5=17	17·2-1=33
2	4	4·2+6=14	14·2+17=45
2	4	4·2+14=22
2	4

Ответ:

2. Освободиться от иррациональности в знаменателе:

Решение:

Число есть значение многочлена при . Найдем многочлен, корнем которого является . Это, очевидно, многочлен . Применим к f(х) и р(х) алгоритм Евклида:

–2

1

Эти многочлены взаимно просты, следовательно, существуют многочлены u(х) и v(х), такие, что . Полагая в этом равенстве , будем иметь: или - искомое представление для знаменателя дроби.

Найдем u(х) и v(х).

; .

Отсюда где , а .

Полагая в последнем равенстве , находим:

Раскрывая скобки во втором сомножителе, получаем:

или

.

Окончательно получаем:

Ответ:

3. Отделить кратные множители многочлена

Решение:

Найдем производную многочлена f(х):

.

С помощью алгоритма Евклида найдем НОД многочлена и его производной.

1)

=

2)

			: 400
		=

3)

0

Таким образом, последний, отличный от нуля остаток и есть наибольший общий делитель многочлена и его производной:

Следовательно, многочлен f(х) имеет 2 корня 2-й кратности: и .

Разделим многочлен f(х) с помощью схемы Горнера на и :

	1	4	1	–14	–20	–8
–1	1	3	–2	–12	–8	0
–1	1	2	–4	–8	0
–2	1	0	–4	0
–2	1	–2	0

Окончательно получаем:

Ответ: многочлен f(х) имеет 2 кратных корня ( и ) и один простой корень ( ).

4. а) Решить уравнение 3-й степени, используя формулы Кардано: .

Решение: освободимся от квадрата неизвестного, чтобы использовать формулы Кардано. Для этого введем новую переменную: . Отсюда . С помощью схемы Горнера разложим левую часть по степеням :

	1	6	6	5
–2	1	4	–2	9
–2	1	2	–6
–2	1	0
–2	1

Получим неполное кубическое уравнение .

Корни этого уравнения находятся по формулам Кардано:

, где ,

.

Подставляем в формулы , . Получаем:

Так как u и v – различные действительные числа, то уравнение имеет 1 действительный и 2 комплексно сопряженных корня.

.

.

Так как , окончательно получаем:

, ,

.

Ответ: , ,

4. б) Решить уравнение 4-й степени методом Феррари: .

Решение: Левую часть уравнений представим в виде разности квадратов некоторого трехчлена и двучлена. Для этого будем считать квадратом 1-го члена трехчлена, – удвоенное произведение 1-го члена на 2-й и введем новую переменную λ в качестве 3-го члена:

. Правая часть этого уравнения является квадратным трехчленом относительно переменной х. Подберем λ так, чтобы правая часть являлась полным квадратом. Для этого его дискриминант должен быть равен нулю:

.

Полученное уравнение называется кубической резольвентой данного уравнения 4-й степени. Для его решения достаточно найти один корень резольвенты. Преобразуя ее, получаем:

, . Подставим в уравнение: ;

;

;

;

.

Решая квадратные уравнения и ,

Получаем корни: и .

Ответ: , , , .

5. Найти рациональные корни многочлена

Решение: так как многочлен не является нормированным, то он может иметь дробные корни, числители которых являются делителями свободного члена, а знаменатели – делителями старшего коэффициента. Таким образом, все рациональные корни многочлена можно искать среди чисел

С помощью схемы Горнера найдем значения многочлена при :

	24	–34	24	–17	–6	17	–6
1	24	–10	14	–3	–9	8	2
–1	24	–58	824	–99	93	–76	70

Используем тот факт, что если дробь является корнем многочлена , то и – целые числа. Проверим это условие для выписанных чисел. Результаты запишем в таблицу:

	ц	д	ц	д	д	д	ц	д	ц	д
	д		д				д		ц

	ц	д	ц	д	д	д	ц	д	д	д
	д		ц				ц

	д	д	д	д	д	д	д	д

Рациональные корни следует искать среди чисел , и . Сделаем это с помощью схемы Горнера:

	24	–34	24	–17	–6	17	–6
	24	2	27
	24	–18	12	–9	–12	9	0
	24	0	12	0	–12	0

Таким образом, многочлен имеет 2 рациональных корня: и .

Ответ: рациональными корнями многочлена являются числа и .

6. Выразить многочлен

через основные симметрические многочлены.

Решение. Представим данный симметрический многочлен в виде суммы симметрических многочленов: и каждое слагаемое выразим через основные симметрические многочлены.

1) Составим таблицу для первого слагаемого:

Системы показателей	Возможные высшие члены многочлена	Соответствующие произведения основных симметрических многочленов
3 0 0
2 1 0
1 1 1

Здесь ; ; – основные симметрические многочлены.

Из данной таблицы получаем тождество: с неопределенными коэффициентами А и В. Для нахождения этих коэффициентов будем подставлять в полученное тождество различные числовые значения переменных . При этом удобнее подставлять такие значения, при которых некоторые из многочленов обращаются в 0. Эти вычисления также оформим в виде таблицы:

х1	х2	х3	σ1	σ2	σ3	f(х)	φ(σ)	f(х)= φ(σ)
1	1	0	2	1	0	2	8+2А	8+2А=2
1	1	–2	0	–3	–2	–6	–8В	–8В=–6

Получаем систему уравнений относительно неизвестных А и В:

Решив ее, получим А=–3, В=3.

Значит,

2) Составим таблицу для второго слагаемого:

Системы показателей	Возможные высшие члены многочлена	Соответствующие произведения основных симметрических многочленов
2 2 0
2 1 1

Из данной таблицы получаем тождество: с неопределенным коэффициентом А. Для нахождения этого коэффициента составим таблицу:

х1	х2	х3	σ1	σ2	σ3	f(х)	φ(σ)	f(х)= φ(σ)
–1	2	2	3	0	–4	24	–12А	–12А=24

Получаем А=–2.

Значит,

3) Окончательно получаем:

= =

Ответ:

.

7. Найти значение симметрического многочлена от корней уравнения :

Решение: Выразим симметрический многочлен через основные симметрические многочлены. Нетрудно заметить, что . Выразим через основные симметрические многочлены первое слагаемое.

Системы показателей	Возможные высшие члены многочлена	Соответствующие произведения основных симметрических многочленов
2 1 0
1 1 1

Из таблицы получаем тождество: с неопределенным коэффициентом А. Для его нахождения подставим в полученное тождество числовые значения переменных .

х1	х2	х3	σ1	σ2	σ3	f(х)	φ(σ)	f(х)= φ(σ)
1	1	–2	0	–3	–2	6	–2А	–2А=6

Отсюда получаем А=–3, т.е. , поэтому .

Для вычисления значения этого многочлена от корней данного уравнения , воспользуемся формулами Виета при п=3: , , .

Окончательно получаем: .

Ответ: значение многочлена значение симметрического многочлена от корней уравнения

равно –5.

8. Решить систему уравнений, сведя ее к симметрической введением новой переменной:

Решение. Сделаем замену . Тогда данная система запишется в виде (1) – система двух симметрических уравнений. Обозначим , . Так как , то система (1) может быть записана в виде (2) .

Последовательно решая эту систему, будем иметь:

Возвращаясь к исходным переменным, получим:

Учитывая сделанную замену , окончательно имеем

Ответ: данная система имеет 2 решения: (2;0) и (0;–2).