7. Теорема о мощности множества отображений из данного множества в двухэлементное.

X – не пустое множество. Y – двух элементное множество. .

Доказательство: , A равномощно X, A

1. характеристическая функция . , .

2. Сюръекция . Построим , .

,

(из лекций вроде как): из системы =>

Следствие

8. Алгебраические системы: полугруппы, группы, подгруппы, группа перестановок, теорема Кэли.

Алгебраическая операция на множестве X – отображение

Аксиомы группы:

1. 

2. Ассоциативность

3. нейтральный элемент , т.е. такой, что

4. обратный элемент: .

- группа, если (0-3); (0-1) – полугруппа; (0-2) – полугруппа с нейтральным элементом моноид.

- группа, – подгруппа, если - группа.

– конечное множество;

;

Теорема Кэли. G – конечная группа, тогда

Доказательство: . перестановка . (попарно различны). .

Лемма 1. . , инъекция, сюръекция биекция.

Лемма 2. гомоморфизм. . . . подгруппа.

Лемма 3. – изоморфизм. .

9. Алгебраические системы: группы, подгруппы, циклическая группа, порядок элемента, теорема Лагранжа.

Алгебраическая операция на множестве Х – отображение

Групоид G = (G, *) называют группой, если выполняются следующие аксиомы:

1. 

2. ассоциативность

3. нейтральный эл-т т.е. такой, что

4. Обратный элемент:

Полугруппу (в частности, группу) (G,*) называют циклической, если существует такой элемент g, что любой элемент n полугруппы является некоторой степенью элемента g.

;

Теорема Лагранжа

Порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы.

◄ Пусть задан некоторый порядок H = . Левый смежный класс

Лемма 1: ◄

Лемма 2: ◄

Лемма 3: Если

◄

Лемма 4:

Следствие:

10. Алгебраические системы: кольца, поля, делители нуля, доказатель­ство того, что конечное коммутативное кольцо с отличной от нуля единицей и без делителей нуля является полем, примеры конечных полей.

Кольцом называют алгебру , сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем для выполняются равенства:

1. (ассоциативность сложения);

2. (коммутативность сложения);

3. (0 — нейтральный элемент по сложению);

4. (существование противоположного элемента);

5. (ассоциативность умножения);

6. (1 — нейтральный элемент по умножению);

7. (дистрибутивность слева и справа)

Кольцо, в котором множество всех ненулевых элементов по умножению образует группу, называют телом, коммутативное тело – поле.

1. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом О

2. - полугруппа

3. Дистрибутивность

4. 

- полукольцо

Коммутативное кольцо (R,+,*) c ≠ – поле, если \ , *) – группа, т.е ненулевой элемент имеет обратный по умножению)

Ненулевые х, у – делители нуля, если

Теорема: (R,+,*) – коммутативное кольцо с ≠ без делителей нуля, тогда R – поле

◄ \

Если , то

Примеры конечных полей: — класс вычетов по модулю простого числа.

Алгебра   есть поле, называемое полем рациональных чисел.