1.2. Спектральный анализ сигналов
Любой
сигнал x(t)
математически может быть представлен
набором простейших функций
(подобно разложению числа на сомножители).
Главное требование к простейшим функциям
– их единственность (уникальность) и
непохожесть на другие функции. Это
свойство
исключительности
набора простейших функций отражается
в математике свойством
ортогональности:
(на некотором интервале (0,Т)):
.
Разложение сигнала на простейшие функции представляется рядом:
.
Коэффициенты ряда – Сk выбираются из условия минимума среднеквадратичной погрешности по отношению к исходному сигналу:
Сk находятся по формуле (с учетом нормировки)
.
При увеличении членов ряда n к бесконечности (∞) погрешность отображения исходной функции x(t) становится сколь угодно малой. Тогда такой ряд называют обобщенным рядом Фурье.
В качестве простейших ортогональных функций часто выбирают тригонометрический ряд:
.
(1.1)
Совокупность коэффициентов ряда {Ck} называют спектром амплитуд или амплитудно-частотным спектром, а совокупность {k} - спектром фаз или фазово-частотным спектром. С учетом:
(1.2)
и
получаем другую форму ряда Фурье:
,
(1.3)
где коэффициенты ak и bk определяется как:
;
;
.
(1.4)
Коэффициенты ak называют косинусной (четной) составляющей, bk - синусной (нечетной).
Разложение сигнальной функции на "простейшие" составляющие называют спектральным анализом или спектральным разложением. В тригонометрическом ряде Фурье в качестве "простейшей" функции принято синусоидальное (косинусоидальное) колебание одной частоты, называемое "гармоническим". Поэтому составляющие ряда Фурье называют "гармоники"; имея в виду, что ряд состоит из кратных -k- частот, т.е. кратных гармоник (первая гармоника, вторая гармоника … сотая гармоника …). Так как интервал ортогональности 0,Т – совпадает с периодом Т = 2/1, то определение коэффициентов ряда производится в пределах интервала ортогональности (-Т/2, Т/2).
Рассмотрим пример спектрального разложения периодического колебания типа "меандр". Меандр – греческое слово, обозначающее "орнамент" (рис. 1.3).
t
а) б)
Рис 1.3
.
Выбор начала координат а) или б) определит состав гармонического разложения: по четным коэффициентам или не четным, это определяется видом функций x(t) в пределах (-Т/2, Т/2). В случае выбора начала координат по а) функция x(t) оказывается нечетной, т.е. х(-Т/2) = -х(Т/2), при этом в ряде Фурье остаются только члены bk, определяемые нечетной функций синуса. Составляющие ak оказываются при этом, равными нулю ak = 0. В случае выбора начала координат по б) функция x(t) оказывается четной, и ряд Фурье будет определяться только составляющими ak, bk = 0. Постоянная составляющая, как видно из графика, равна нулю. Для случая а):
с
учетом, что
и
.
Тогда ряд Фурье:
или с учетом = 2πf
.
(1.5)
Полученный спектральный состав можно представить графически (рис. 1.4).
Рис. 1.4
П
риведенный
график называют "спектром".
Синтез исходной временной функции по
спектральным составляющим понятен из
рис. 1.5.
Рис. 1.5