2.3.2 Картографическая проекция

Основным элементом математической основы являются картографические проекции. Именно картографические проекции влияют на выбор главных масштабов карт и их компоновок.

Картографической проекцией устанавливается взаимно-однозначное соответствие между прямоугольными координатами (х, у) точек на плоскости и широтами и долготами соответствующих точек на шаре (, ) или на эллипсоиде (В,L). Математически эта взаимосвязь определяется уравнениями картографической проекции.

Например, для шара уравнения могут быть записаны следующим образом:

; (2.1)

. (2.2)

Уравнения (1) задают прямое отображение поверхности шара на плоскость; уравнения (2) ‒ обратное отображение плоскости на шар [15].

К уравнениям картографических проекций предъявляются следующие математические требования: они должны давать однозначное и в заданной области непрерывное, имеющее геометрический смысл, отображение.

Множество таких уравнений бесконечно, а разнообразие картографических проекций практически неограниченно. Их число ежегодно продолжает увеличиваться.

Важной составляющей частью уравнений картографических проекций являются их параметры. Изменением параметров можно изменить свойства проекции.

Картографические проекции обычно различают по характеру искажений и по виду вспомогательной геометрической поверхности, с помощью которой сеть меридианов и параллелей с эллипсоида (или шара) переносят на плоскость.

По характеру искажений проекции делятся на равноугольные, равновеликие, равнопромежуточные и произвольные.

Равновеликие проекции – сохраняют площади без искажений. Такие проекции удобны для измерения площадей объектов. Однако в них особенно значительно нарушены углы и формы, что особенно заметно для больших территорий.

Равноугольные проекции – оставляют без искажений углы и формы контуров, показанных на карте. Такие проекции особенно удобны для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту, поэтому их всегда используют на навигационных картах. Зато карты, оставленные в равноугольных проекциях, имеют значительные искажения площадей.

Произвольные проекции – это все остальные виды проекций, в которых в тех или иных произвольных соотношениях искажаются и площади, и углы (формы). Эта группа проекций используется в случаях, когда чрезмерные искажения углов и площадей одинаково нежелательны. По своим свойствам произвольные проекции лежат между равноугольными и равновеликими. Среди них можно выделить равнопромежуточные проекции, во всех точках которых масштаб по одному из главных направлений, обычно по меридианам или параллелям, постоянен и равен главному [16].

Для изображения сфероидической поверхности Земли на горизонтальной плоскости используются различные методы. При этом во всех случаях в качестве поверхности, на которую производят проецирование, используют плоскость и поверхности второго порядка, разворачивающиеся в плоскость без искажений. Такими поверхностями являются цилиндр и коническая поверхность.

Поверхности, на которые проектируют земной шар, могут быть касательными к шару, либо секущими, при этом в том и другом случаях могут быть по разному ориентированы относительно основных геометрических элементов земного шара: оси вращения Земли и плоскости экватора. По способу ориентирования вспомогательных геометрических поверхностей проекции делят на следующие:

• полярные (нормальные), в которых плоскость проектирования касается поверхности земного шара в точке полюса, или ось цилиндра (или конуса) совпадает с осью вращения Земли;

• экваториальные (поперечные), в которых плоскость проектирования касается экватора в какой-либо точке, либо ось цилиндра (или конуса) совпадает с плоскостью экватора;

• косые (горизонтальные), в которых плоскость проектирования касается земного шара в любой заданной или выбранной точке [16].

В зависимости от положения вспомогательной поверхности относительно поверхности земного эллипсоида проекции можно условно подразделить на касательные и секущие [16].

В зависимости от использования вспомогательной геометрической поверхности картографические поверхности делят на пять основных групп: азимутальные, конические, поликонические, цилиндрические и условные.