Глава 2. Задача о кулоновском искажении энергетического спектра скл в солнечной короне

Основное уравнение, описывающее поведение функции распределения частиц по координатам и скоростям – это газокинетическое уравнение Больцмана. Однако в общем виде такое уравнение аналитического решения пока не имеет. Поэтому, как правило, вместо него используют различные приближения, основным из которых является уравнение Фоккера-Планка. В поставленной в данной работе задаче кулоновские силы, возникающие при столкновениях ионов СКЛ с частицами корональной плазмы, являются дальнодействующими, то есть основную роль играют всё же дальние взаимодействия, меняющие направление скорости ионов СКЛ на незначительный угол, нежели ближние столкновения, меняющие скорости ионов скачком. В этом случае с достаточно высокой точностью уравнение Больцмана можно заменить на уравнение Фоккера-Планка. Наверное, один из наиболее интересных выводов данного уравнения представлен в работе [15].

В данной работе предлагается ввести функцию распределения f частиц (в нашем случае ионов СКЛ), которая зависит от их радиус-вектора в фазовом пространстве X_i (x_i, y_i, z_i, V_xi, V_yi, V_zi), где x_i, y_i, z_i  координаты i-той частицы (иона СКЛ)), а V_xi, V_yi, V_zi  компоненты её скорости в момент времени t. Далее вводится вероятность перехода w (X, X, t) системы частиц из состояния X в состояние X за время t. Тогда функция распределения удовлетворяет следующему интегральному уравнению Смолуховского [15]:

f (X, t + t) =  f (X, t) w(X, X, t) d X.

Перейдём в правой части от переменных X, X к переменным X, X = X − X:

f (X, t + t) =  f (X, t) w(X, X, t) d X, (2.1)

где интеграл в правой части берётся при фиксированном значении X.

Далее разложим подынтегральную функцию f в ряд Тейлора по величине X, входящей через X:

f (X, t) w(X, X, t) =f (X, t) w(X, X, t) + + +…

Подстановка полученного ряда в (2.1) даёт

(2.2)

Полученные ряды будут хорошо сходиться, если вероятность w достаточно быстро спадает с возрастанием ξ, что и отвечает приближению непрерывного взаимодействия [3]. Это позволяет ограничиться в разложении (2.2) первыми тремя слагаемыми. Если разложить левую часть в (2.2) по степеням t и ограничиться первым членом разложения, то получится первая форма уравнения Фоккера-Планка [15]:

, (2.3)

где

(2.4)

Уравнение (2.3) также записывают в виде:

, (2.5)

где

. (2.6)

Такая запись называется второй формой уравнения Фоккера-Планка. Коэффициенты А_α образуют в такой записи вектор скорости переноса в шестимерном фазовом пространстве с координатами ξ (и называются коэффициентами динамического трения), а В_αβ – тензор обобщённых коэффициентов диффузии, учитывающий как диффузию в обычном координатном пространстве, так и диффузию в пространстве скоростей. В изотропном случае тензор вырождается в скалярный коэффициент диффузии.

Уравнение (2.5), записанное в векторной форме, имеет вид:

, (2.7)

Тогда, согласно теореме Остроградского-Гаусса, величина в круглых скобках характеризует обобщённый поток в фазовом пространстве ξ. Этот факт будет в дальнейшем использован при моделировании функции распределения ионов солнечных космических лучей (метод диффузионных потоков).

Применим уравнение Фоккера-Планка (2.3) к задаче расчёта искажения энергетического спектра СКЛ под действием кулоновского взаимодействия на частицах плазмы.

Если пренебречь вторым слагаемым в (2.6), уравнение (2.7) будет записано в виде

, (2.8)

Уравнение (2.8) удобно переписать в виде

. (2.9)

Здесь

, (2.10)

 поток частиц в координатном пространстве, V  вектор скорости ионов СКЛ,   коэффициент диффузии в координатном пространстве, а D  в скоростном,  ускорение ионов, возникающее за счёт кулоновского трения на частицах фоновой плазмы. В системе СИ сила кулоновского трения F имеет следующий вид [6, 7]:

, (2.11)

где q, m, V  заряд, масса и скорость ионов СКЛ; q_, m_, u_ и n_  заряд, масса, концентрация и тепловая скорость частиц уже самой плазмы (состоящей из электронной и протонной компонент); – коэффициент пропорциональности из закона Кулона;   уже упомянутый в 1 главе кулоновский логарифм (формула (1.2)).

Если считать что поток j меняется только вдоль оси Ох уравнение (2.9) примет вид

. (2.12)

При этом ось Ox мы направили вдоль основного направления движения ионов СКЛ.

Рассмотрим стационарный случай. Тогда и уравнение (2.12) примет вид

, (2.13)

Если в этом уравнении ускорение а, а также имеют ненулевую только х-вую компоненту, то уравнение (2.13) можно записать в виде:

, (2.14)

При этом f (V_x, x)  функция распределения частиц по V_x компоненте скорости.

В сферической системе координат в пространстве скоростей уравнение (2.10) будет выглядеть уже по-другому:

, (2.15)

В некоторых случаях велика вероятность того, что упускают из виду факт , то есть модуль ускорения не равен среднему темпу потери скорости ионами СКЛ. Что связано с тем, что сила кулоновского торможения не только уменьшает скорость ионов СКЛ, но и отклоняет их, при этом само отклонение может быть не связано с потерей ионами СКЛ их энергии движения. Особенно это будет заметно, если масса частиц фоновой плазмы много больше массы ионов СКЛ. При этом однозначно существует связь между потерей скорости ионов СКЛ и потерей их энергии:

, (2.16)

где  кулоновские потери энергии СКЛ из формулы (1.1).

Если обозначить , то в сферической системе координат в пространстве скоростей уравнение (2.7) примет вид

.

Данное уравнение очень часто встречается в литературе по исследованию механизмов формирования и искажения энергетического спектра ионов СКЛ. Однако в настоящей работе будет использовано уравнение Фоккера-Планка в виде соотношения (2.14) или (2.15), так как нас будет зависимость функции распределения от координаты, а не от времени.

Кроме диффузионного уравнения Фоккера-Планка в 3 главе мы также рассмотрим решение более общего, газокинетического уравнения Больцмана применительно к нашей задаче. Но для начала приведём вывод данного уравнения.

Газокинетическое уравнение Больцмана