§ 10. Коефіцієнти освітленості і зв'язку

Розглянемо випромінюючу поверхню s₁ і освітлювану s₂. Нехай від елемента ds₁ до елемента ds₂ (див. мал. 6) йде пучок, що сходиться, який займає тілесний кут dω₁ і має силу світла dI. Яскравість цього пучка позначимо через В, кут випромінювання для нього — через υ₁; тоді

,

звідки

( 59 )

де dI і В₀ — сила світла і яскравість елемента ds₁ у напрямі нормалі, а f(υ) і Ω — його індикатриса і еквівалентний тілесний кут. Освітленість, яка виробляється цим пучком в даній точці освітлюваної поверхні,

( 60 )

де υ₂ - кут падіння. Припускаючи, що індикатриса і світимість випромінюючій поверхні однакові у всіх її точках, знайдемо тепер освітленість, яка виробляється цією поверхнею:

( 61 )

де ω₁ —тілесний кут, який займає пучок, що йде від всієї поверхні s₁.

Відношення освітленості до світимості випромінюючої поверхні називають коефіцієнтом освітленості [Л. 217]. Цей коефіцієнт позначимо через ε:

( 62 )

він — безрозмірна величина.

Очевидно, з (61), що для ds₂

( 63 )

Таким чином, коефіцієнт освітленості залежить від індикатриси, а також від вигляду і розташування випромінюючої поверхні.

Якщо r — відстань від ds₁ до ds₂ то, згідно (1),

що, після підстановки в (63), дає інший вираз коефіцієнта освітленості:

(64)

Обчислимо світловий потік F₁₂, падаючий на поверхню s₂ від поверхні s₁:

тобто

( 65 )

Потік F₁₂ складає деяку частку ψ₁₂ повного потоку F₁, що дається випромінюючою поверхнею. Цю величину називають коефіцієнтом зв'язку [Л. 203]*:

( 66 )

Коефіцієнт самозв'язку — коефіцієнт зв'язку поверхні з собою; для плоских і опуклих поверхонь він рівний нулю.

Взявши до уваги, що

,

знайдемо з останніх виразів:

( 67 )

Звідси знаходимо далі, що коефіцієнт освітленості поверхні s₂ від поверхні s₁

( 68 )

Позначивши через φ₂ коефіцієнт зв'язку елемента ds₁ з s₂, маємо також:

( 69 )

де

( 70 )

якщо про ω₂ — тілесний кут, під яким поверхня s₂ видна з ds₁.

Коефіцієнт зв'язку залежить від індикатриси, а також вигляду і взаємного розташування випромінюючої і освітлюваної поверхонь. Найбільше можливе його значення, очевидно, рівно одиниці. Якщо світимість в різних точках випромінюючої поверхні різна, то коефіцієнт зв'язку може змінюватися ще залежно від цієї обставини.

Коефіцієнти освітленості і зв'язку, будучи визначений для тих умов, від яких вони залежать, дозволяють легко обчислювати освітленості і потоки при різній потужності (тобто різною світимістю) випромінюючої поверхні.

§ 11. Термодинамічні умови. Закони Ламберта і Ейлера

Розглянемо систему n поверхонь, які створюють замкнуту фігуру, усередині якої одна з них, скажімо k-та, випромінює. Вводячи коефіцієнти зв'язку ψ_k1 ,ψ_k2 ,…, ψ_kk , ψ_kn випромінюючої поверхні зі всіма n поверхнями, знаходимо, що закон збереження енергії вимагає умови:

( 71 )

яке є виразом принципу збереження потоку (§ 5). Ця умова показує, що потік, який посилається від кожної з даних поверхонь, цілком потрапляє на неї та інші поверхні; її називають умовою замкнутості.

Розглядаючи замкнуту систему поверхонь в стані термодинамічної рівноваги, тобто випромінюючих як абсолютно чорні тіла, що знаходяться при однаковій температурі, можна отримати нові фотометричні співвідношення (Л. 234]. При цьому кожна поверхня посилає будь-який інший такий же променистий потік, який одержує від неї, а оскільки спектральний склад випромінювання всіх поверхонь однаковий, у вказаному співвідношенні знаходяться і світлові потоки.

Таким чином, якщо до даної системи належать майданчики ds₁ і ds₂, першу з яких посилає на другу світловий потік dF₁₂, а друга на першу — потік F₂₁ то

Покладемо, що відстань r між узятими майданчиками достатньо велика, щоб можна було розглядати їх як точкові джерела. нехай dI₁ і dI₂ — сили світла першого майданчика в напрямі на другу і другий в напрямі на першу, а υ₁ і υ₂ — кути, що складаються нормалями до майданчиків із сполучаючим їх променем (див. мал. 6). Тоді світловий потік

а

Прирівнюючи праві частини цих виразів і ділячи обидві частини рівності на добуток ds₁ ds₂, знаходимо, що

( 72 )

або

( 73 )

*

тобто яскравість майданчика не залежить від напряму.

З (72) безпосередньо витікає, що в даному випадку індикатриса

( 74 )

Точкове джерело, що має таку індикатрису, будемо називати косинусним. Його еквівалентний тілесний кут

( 75 )

Рис 16.

Цей інтеграл можебути вичислений з наступних геометричних міркувань.υ — кут між віссю тілесного кута dω є нормаллю до випромінюючого майданчика. А оскільки вісь кута dω є нормаль до сферичного елемента, що виміряє цей тілесний кут, то і підінтегральний вираз представляє, очевидно, проекцію такого елемента на площину випромінюючого майданчика. Іншими словами, це — проекція вирізаного тілесним кутом і з елемента сфери одиничного радіусу, що має центр у вершині тілесного кута. Інтеграл рівний сумі таких проекцій, тобто проекції суми сферичних елементів або частини сфери, відповідної тілесному куту 2π. Ця частина — півсфери, а її проекція на площину майданчика, що проходить через центр, рівна π (мал. 16). Отже, в даному випадку

( 76 )

Формули (73) і (74) виражають закон Ламберта [Л. 12], висновок якого з умов термодинамічної рівноваги дав Фурьє [Л. 19] і детально дослідив Пуассон [Л. 24].

З попереднього виходить, що по цьому закону випромінює абсолютно чорне тіло. В багатьох інших випадках закон Ламберта дотримується з більшою або меншою точністю, часто достатньої, проте, для практичних розрахунків. Це відноситься як до первинних джерел, так і до вторинних [Л. 81]. Сам Ламберт знайшов свій закон із спостережень, що показували, як він вважав, що яскравість сонячного диска, тобто проекції кулі, що світиться, однакова у всіх його крапках, ніж спростовувалася думка Ейлера, який вважав, що елемент поверхні такої кулі дає силу світла, однакову по всіх напрямах [Л. 10]. Проте ще спостереження Бугера [Л. 11] показали, що припущення, прийняті Ейлером і згодом Ламбертом, не підтверджуються для небесних тіл, для яких співвідношення, назване надалі законом Ламберта, є лише не завжди допустимим приближенням.

Насправді, як помітив ще Гершель [Л. 21], випромінює не елемент поверхні, а шар речовини, що знаходиться за ним. У випадках сильного поглинання власного випромінювання або великої товщі випромінюючої речовини, елемент поверхні джерела випромінює приблизно за законом Ламберта, при слабкому ж поглинанні — приблизно так, як вважав Ейлер. Відступи від цих законів залежать від заломлення, віддзеркалення і розсіяння на поверхні розділу випромінюючого і оточуючого середовищ [Л. 58]. Оскільки поглинання залежить від довжини хвилі, елемент поверхні може випромінювати по-різному в різних місцях спектру. Газосвітні лампи низького тиску, наприклад, наближаються до закону Ламберта в резонансному випромінюванні, тоді як розподіл потоку інших ліній їх спектру відбувається приблизно по Ейлеру.

Таким чином, разом із законом Ламберта в деяких випадках застосовний закон Ейлера, коли індикатриса

( 77 )

а еквівалентний тілесний кут для елемента поверхні, випромінюючого по одну сторону

Обидва закони застосовні за обмежених умов, а не універсальні, як вважали Ейлер для свого закону і Ламберт для свого.

При дотриманні закону Ейлера, сила світла точкового джерела не залежить від напряму:

( 78 )

Таке джерело називають рівномірним або ізотропним. В цьому випадку еквівалентний тілесний кут

( 78 )

Практично закон Ламберта має найширше застосування, оскільки в багатьох розрахунках приймають, що випромінюючі і розсіюючі світло поверхні достатньо точно йому підкоряються. В таких випадках застосовні фотометричні співвідношення, одержувані для поверхонь, що знаходяться в умовах термодинамічної рівноваги [Л. 207], при якій, як показав Фур'є, дотримується закон Ламберта, а світимість всіх поверхонь однакова. Такі поверхні називають рівнояскравими.

Потоки F_k і F_і випромінювані рівнояскравими поверхнями s_k і s_i, знаходяться в співвідношенні:

( 81 )

Разом з тим, потік, падаючий з s_k на s_i

а потік, падаючий з s_k на s_i

де ψ_ki і ψ_ik – коефіцієнти зв'язку s_k з s_i та s_i з s_k

При термодинамічній рівновазі

( 82 )

звідки слідує формула, яку дав Дурньон [Л. 129]:

( 83 )

Рівняння (71), (82) і (83) складають основу термодинамічного методу теоретичної фотометрії, для вирішення деяких задач якої достатньо їх застосування. Слід помітити, проте, що рівняння (82) і формула Дурньона застосовне, у відмінність від (71), тільки при точному (термодинамічна рівновага) або наближеному дотриманні закону Ламберта, причому (82) припускає однакову світимість обох поверхонь. Проте, рівняння (82) дозволяє одержувати важливі результати, як, зокрема, показано надалі.

>