Интервальные оценки (доверительные интервалы)
Доверительным
интервалом (ДИ)
для параметра ,
соответствующим доверительной вероятности
(обычно
= 0,95), называется интервал J()
= (
,
),
где
и
- нижняя и верхняя границы, которые
определяются по выборочным данным так,
чтобы
,
т.е. вероятность “накрытия” интервалом
неизвестного значения параметра
равна доверительной вероятности (уровню
доверия) .
Нижняя и верхняя границы доверительного
интервала являются СВ так как определяются
по результатам наблюдений. Полуширина
доверительного интервала определяет
точность оценки, а
= 1 -
- ее достоверность,
- уровень значимости.
Постановка задачи. Пусть СВ X N(, ). По выборке объема n требуется построить ДИ для параметров и с уровнем доверия , т.е.:
J()
= (
,
)
и J()
= (
,
).
ДоверительныЙ
интервал J()
= (
,
)
Случай I
(
= 0
- известная величина).
Будем искать симметричный ДИ в виде
J()
= (
,
)
= (
-,
+),
где
- выборочное среднее параметра .
Тогда остается найти
0, соответствующее доверительной
вероятности ,
чтобы P{
-
<
<
+}
= .
Если X
N(,
0),
тогда СВ
N(,
0/
).
Следовательно
.
Тогда
= 0
и 2Ф()
- 1 = .
Определим из этих двух уравнений
и .
Очевидно, что = t(+1)2 - квантиль уровня (+1)2 нормального распределения, который находится по соответствующим таблицам.
Тогда () = t(+1)20 . Тем самым получен ДИ для параметра следующего вида:
J()
= (
,
)
= (
-,
+),
где
и
= t(+1)20
.
Пример.
Измеряется глубина проникания L
с помощью прибора, которое имеет
среднеквадратичное отклонение погрешности
измерения 0
= 10 мм. Проведено четыре измерения и
определено выборочное среднее
= 152 мм. Считая, что L
N(,
0),
определить доверительный интервал
глубины L
с уровнем доверия
= 0,9.
Решение. Сначала определим квантиль уровня 0,95 нормального распределения: t(+1)2 = t0,95 = 1,65.
Следовательно J0,95() = ( , ) = ( - , + ), где = t0,950 = 1,65102 = 8,25. Тогда J0,95() = = 152 8,3 мм.
Задача 2. Как изменится доверительный интервал глубины L в рассмотренном примере, если доверительная вероятность уменьшиться в 1,5 раза? Как изменится доверительная вероятность , если в два раза увеличить число измерений?
ДоверительныЙ интервал J() = ( , )
Случай II
(
- неизвестная величина).
Будем искать симметричный ДИ в виде
J()
= (
-,
+),
где
- выборочное среднее параметра .
Для построения “точного” ДИ воспользуемся
тем, что СВ
tn-1,
где
- точечная оценка дисперсии D[X].
Если s(+1)2
- квантиль уровня (+1)2
распределения Стьюдента с (n-1)
степенью свободы, то справедливо
следующее:
P{T < s(+1)2} = P{-s(+1)2 < T < s(+1)2} = P{T < s(+1)2} - P{T < -s(+1)2} = P{T < s(+1)2} - P{T < s(1-)2} = (+1)2 - (1-)2 = .
Тогда P{
-
< s(+1)2
}
= ,
где S2
- точечная оценка дисперсии D[X].
Следовательно ()
= s(+1)2
,
где s2
- выборочное значение дисперсии D[X].
Тем самым получен ДИ для параметра
следующего вида:
J()
= (
,
)
= (
-,
+),
где
,
= s(+1)2
и
.
Пример. Пусть измеряемая величина X N(, ) является пределом текучести материала. По четырем испытаниям установлены: выборочное среднее = 400 МПа и выборочное значение дисперсии s2 = 16 (МПа)2. Требуется определить ДИ для M[X] с уровнем значимости = 0,1.
Решение.
Сначала определим квантиль уровня 0,95
распределения Стьюдента с 3 степенями
свободы: s(+1)2
= t3;
0,05
= 2,35. Следовательно J0,9()
= (
- t3;
0,05
,
+ t3;
0,05
)
= (400 - 4,7; 400 + 4,7) МПа.
Лекция 10 Основы теории графов
(Тема 3.4.)
План лекции
Графы, оргафы, деревья.
Матрица смежности, матрица инциденций.
Операции над графами.
Теорема Эйлера.
Отыскание кратчайших путей в графах.
Системы массового обслуживания (СМО).
Понятие Марковского случайного процесса: определения; граф состояний; правило составления сетевого графа; расчет кратчайшего пути сетевого графа; потоки событий; матрица перехода однородной цепи Маркова.