33. Изопериметрические задачи в вариационном исчислении. Пример.
34. Постановка задачи оптимального управления.
Задачу проектирова-ния оптимальной системы сформулируем следующим образом: задан объект управления или процесс; требуется найти закон управления или управляю-щую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы.
ПРИМЕР:
Из Вики вкратце:
+
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Математическая постановка задачи оптимального управления.
1. Задача оптимального управления. Рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть имеется двигатель постоянного тока, который работает на механизм М.
Таким механизмом может быть, например, танковая башня. Движением двигателя можно управлять, изменяя напряжение , подводимое к цепи якоря (напряжение будем считать постоянным).
Из условия электрической прочности напряжение, подводимое к цепи якоря, должно быть ограничено:
Пусть
требуется осуществить поворот вала
двигателя на некоторый заданный угол.
Интуитивно ясно, что существует
бесконечное множество функций
которые решают поставленную задачу, т.
е. обеспечивают поворот вала двигателя
на заданный угол.
Но
тогда естественно поставить ещё одну
задачу: среди функций
,
решающих первую задачу, найти наилучшую
в каком - либо смысле, например,
осуществляющую поворот на заданный
угол за минимально возможное время или
с минимальной затратой энергии.
Сформулируем задачу оптимального управления.
Рассмотрим объект или процесс, который описывается системой дифференциальных уравнений
или векторным уравнением
и
-n
-мерные векторы,
-
m -мерный вектор управления.
Вектор x называют
фазовым вектором системы или вектором
состояния.
Будем полагать, что вектор управления u может принимать свои значения из некоторого множества U. U может быть любым множеством m-мерного евклидова пространства, например, оно может состоять из совокупности изолированных точек. На рис. 2.2 при m=2 изображён пример множества U , состоящего из четырёх изолированных точек.
В этом, кстати, заключается существенное отличие принципа максимума от вариационного исчисления. Из-за принятого способа построения вариаций в вариационном исчислении U может быть только областью в классическом смысле этого слова, т. е. когда оно удовлетворяет свойству связности.
Будем
предполагать, что в уравнениях (2.1)
функции
непрерывны по всем своим
переменным и непрерывно дифференцируемы
по переменным
.
В качестве допустимых управлений
рассматриваются кусочно-непрерывные
функции
,
удовлетворяющие условию
.
Векторное
пространство с декартовыми координатами
будем называть фазовым
пространством системы (2.1) и обозначать
X.
Каждому вектору x в фазовом пространстве соответствует некоторая точка (фазовая точка).
Если
задан вектор u(t)
и начальное условие
,
то систему уравнений (2.1) можно решить.
Разным
вектор-функциям u(t)
будут соответствовать различные решения
x(t) уравнений
(2.1), т. е. выбором вектора u(t)
можно управлять движением системы.
Решению
в
фазовом пространстве X
соответствует некоторая линия, которая
называется фазовой траекторией системы.
Пусть
в фазовом пространстве X
заданы две точки
и
.
Рассмотрим
следующую задачу. Требуется среди
допустимых управлений
,
т. е. кусочно-непрерывных вектор-функций
(моменты и не фиксированы), переводящих
фазовую точку системы (2.1) из заданного
начального положения
в заданное конечное
положение
переводящих фазовую точку системы
(2.1) из заданного начального положения
в заданное конечное положение , найти
управление и траекторию, доставляющие
минимум функционалу
(2.2)
Управление u(t) и траектория x(t), решающие поставленную задачу, называются оптимальными.