Раздел 4

[1]: глава 9, §§ 1-5.

[2]: глава 10, §§ 1-9.

[3]: глава 10, §§ 1-6.

Вопросы для самопроверки

1. Какая функция называется первообразной данной функции?

2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

3. Запишите таблицу простейших интегралов.

4. Как производится замена переменной в неопределенном интеграле?

5. Как производится интегрирование по частям в неопределенном интеграле?

6. Назовите основные свойства неопределенного интеграла.

7. Что называется определенным интегралом от данной функции? Каков его геометрический смысл?

8. Как связаны между собой понятия определенного и неопределенного интеграла?

9. Сформулируйте теорему о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом.

10. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

11. Дайте определение несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования.

После разбора этих тем можно приступать к выполнению третьей задачи контрольной работы.

Задача 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² – 2х и у = -2х² + х.

Решение:

Чтобы наглядно представить фигуру, площадь которой надо найти, построим графики функций у = х² – 2х и у = -2х² + х в одной системе координат.

Рисунок 1

Для построения параболы у = х² – 2х определим координаты ее вершины и точек пересечения с осями координат. Выделив полный квадрат у = х² – 2х = (х – 1)² – 1, получим координаты вершины параболы А (1; -1). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при х², равный 1, положителен. Точки пересечения параболы с осью абсцисс найдем, решив квадратное уравнение х² – 2х = 0. Корни этого уравнения х₁ = 0; х₂ = 2. Получили точки О (0; 0); А (2; 0). Точка пересечения с осью ординат находится при х = 0. Эта точка совпадает с точкой А. Для построения второй параболы у = -2х² + х необходимо провести аналогичные действия. Получим вершину В (¹/₄; ¹/₈) и точки О (0; 0); В₁ ( ½ ; 0). Ветви этой параболы направлены вниз, так как коэффициент при х² отрицателен. На рисунке 4 построены обе параболы. Заштрихованная часть плоскости является фигурой, площадь которой надо найти. Для определения абсцисс точек пересечения парабол решим уравнение х² – 2х = -2х² + х или

3х² – 3х = 0, откуда х₁ = 0; х₂ = 1.

Площадь фигуры вычислим по формуле

b

S = ∫ [ f (x) – g (x)] dx, где f (x) ≥ g (x) для всех x € [a; b]

a

(формула (11.21) §6 главы 11 [2] ).

В нашем случае а = х₁ = 0; b = x₂ = 1. На отрезке [0; 1] имеем: -2х² + х ≥ х² – 2х.

Поэтому f (x) = -2x² + x и g (x) = x² – 2x.

Следовательно,

1 1

S = ∫ [(-2x² + x) – (x² – 2x)] dx = ∫ (-3x² + 3x) dx

0. 0

Для вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

b b

∫ f (x) dx = F (x) = F (b) – F (a) ,

a a

где F (x) – первообразная подынтегральной функции f (x) (формула (11.15) § 4 главы 11 [2] ).

Окончательно

1 1

S = ∫ (-3x² + 3x) dx = (-x³ + ³/₂ x²) = -(1)³ + ³/₂ ∙ 1 – 0 = ½

0 0

Ответ: 0,5 кв.ед.