2. Определение закона движения системы.

Дифференциальное уравнение движения механической системы:

+ 2п + k² S = h₀ sin(pt),

Где

Проинтегрируем дифференциальное уравнение. Общее решение этого неоднородного диф­ференциального уравнения складывается из общего решения однородного уравнения S_OD ичастного решения неоднородного S_ч: S = S_OD+ S_ч. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид:

+2n +k² S=0.

Решение этого уравнения ищем в виде функции:

где А и - неопределенные постоянные величины.

Подставляя эту функцию в предыдущее уравнение, получим:

Так как мы ищем нетривиальное решение, то . Следовательно, должно выполняться усло­вие:

Находим корни этого характеристического уравнения:

Так как п <k решение однородного уравнения имеет вид:

Где

Частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части:

Г де

Подставляя в выражение, после несложных преобразований получаем:

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных В₁ и В₂:

Решая эту систему, получаем следующие выражения:

Таким образом, получаем общее решение дифференциального уравнения в виде:

Постоянные интегрирования А₀ и α₀ определяются из начальных условий, при t = 0 имеем:

Решая эту систему, получаем:

рад

Закон движения системы имеет вид:

3. Определение реакций внешних и внутренних связей

Р асчленим механизм на отдельные части и изобразим расчетные схемы отдельно для каждого тела. Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетического момента и теоремы об изменении количества движения

Тело 1:

п роекции на ось S:

Т ело 2:

проекции на ось у₂:

Тело 3:

проекции на ось х₃: 0 = Х₃ - Т₃₄ cosα,

проекции на ось у₃: 0 = Y₃ - Р₃ - Т₃₂ -Т₃₄ sinα,

Т ело 4:

проекции на ось x₄:

п роекции на ось y₄:

С учетом кинематических соотношений полученную систему уравнений преобразуем к виду:

Решая эту систему, получаем выражения для определения реакций связей:

4. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа:

г де - сумма элементарных работ активных сил на возможном перемещении системы;

- сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции .Идеальные связи Х₃,Y₃,F_cц и N₄ не учитываем и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их, получаем:

Найдем возможную работу сил инерции:

Запишем выражения для главных векторов и главных моментов сил инерции:

Используя кинематические соотношения, можно записать:

Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:

Подставляя выражения в формулу, получаем:

Поделив это уравнение на S 0, получим дифференциальное уравнение колебаний системы:

Где:

Начальные условия движения при t = 0:S = S₀ = 0,02 м и = = 0,07 м/с.