24. Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы, их отыскание.

Число λ называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n,если можно подобрать такой ненулевой n-мерный вектор x, что Ax=λx.

Ненулевой вектор x называется собственным вектором квадратной матрицы A, принадлежащим ее собственному значению λ, если Ax=λx.

Найдем собственное значение матрицы:

А= .

Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А. Так как

|A-λE|= = -λ³+3λ+2, то -λ³+3λ+2 - это характеристическое уравнение матрицы А. Разложив левую часть уравнения на множители, получим -( λ-2)( λ+1)²=0

Следовательно, матрица А имеет два собственных значения:

λ₁=2, λ₂=-1.

Найдем собственные векторы матрицы.

А= .

Решение: В предыдущей задаче были найдены собственные значения матрицы А: λ₁=2, λ₂=-1. Теперь найдем множества А(2) и А(-1). Система линейных уравнений (А-2Е)x=θ, x=(x₁,x₂,x₃), имеет вид

x₁+ x₂+ x₃= .

Ее фундаментальная система решений состоит их одного вектора (1,1,1,). Следовательно, вектор α(1,1,1,), αϵR,-произвольный собственный вектор из А(2).

Теперь найдем множество А(-1). Векторы (-1,1,0) и (-1,0,1) образуют фундаментальную систему решений системы уравнений (А+Е)x=θи , значит, α(-1,1,0)+β(-1,0,1), α,βϵR,-произвольный вектор из множества

А(-1).

25. Модель Леонтьева межотраслевого баланса. Уравнение Леонтьева.

Мы считаем, что валовой продукт каждой отрасли распадается на две части: промежуточный и конечный.

Валовой продукт=промежуточный(то, что необходимо для производства)+конечный

i-номер отрасли

x_ij- всяпродукцияi-й отрасли, необходимой для j-й

x_i-валовойпродуктi-й отрасли

x_i=x_i1+x_i2+…+x_in+y_i

y_i-конечный

( зависимая от i и j)

! Величина-продукция i-ой отрасли, необходимая для производства ед. продукции j-ой отрасли. остается постоянной.

Уравнение Леонтьева.

ДругаязаписьуравненияЛеонтьева

26. Продуктивные матрицы. Критерий продуктивности.

Матрица А называется продуктивной если для этой матрицы при каждом векторе конечного продукта (y) найдется х-решение уравнения Леонтьева.

Критерий продуктивности:

Теор: матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда выполняются 2 условия:

1)существует (Е-А)^-1

2) (Е-А)^-1 0

все ее элементы неотрицательны

Док-во:

Пусть выполняются указанные условия. Докажем, что матрица А продуктивна.

Рассмотрим уравнение Леонтьева в виде (2)

X=(E-A)^-1Y является решением