§ 39. Механизм разрушения

При техническом использовании взрывов среди других возникает такая проблема: как и в каких количе­ствах расположить ВВ в скальпом массиве так, чтобы после взрыва получить куски породы заданных размеров. Важно и частичное решение этой проблемы — получить при взрыве из разрушенного массива наибольшее количество кусков данного габарита. Эта проблема тесно вязана также с известной проблемой осколочных сна­рядов: надо добиться, чтобы осколки (или хотя бы большая их часть) имели заданные размеры.

Вероятностный подход. В любом реальном физиче­ском теле всегда имеется большое количество структур­ных дефектов (в том числе трещин), расположенных хаотически и имеющих различные размеры и форму. Под действием взрыва происходит раскрытие и разви­тие этих дефектов, которое и приводит к образованию осколков разнообразных форм и объемов.

В простейшем случае, когда материал в достаточно больших объемах обладает изотропными свойствами, можно описать результат осколочного действия взрыва, введя функцию распределения, т. е. вероятность того, что осколок имеет размер, меньший некоторой величи­ны. Как показывают многочисленные эксперименты, эта функция с достаточной точностью может быть представ­лена в виде:

Ф(x) = 1 - (1)

где х — характерный размер осколка, а х₀, п пара­метры распределения.

Вероятность dр того, что осколок имеет характерный размер в диапазоне

(х, х + dх), получается дифферен­цированием функции Ф(x):

dp = (2)

Практически эта вероятность определяется как отноше­ние объема всех осколков, имеющих размер в интер­вале (x₁ x + dх), ко всему разрушенному объему:

3)

Справедливы следующие соотношения. Количество частиц, имеющих размер в интервале (х₁ х + dх) и сред­ний объем v, равно

(4)

Относительный объем всех частиц, имеющих размер, больший х:

R = . (5)

Последнее выражение используется в горнообогатитель­ной промышленности под названием закона Рози­на—Рам мл ера (1933 г.). Из формулы (2) видно, что средний размер осколка

(6)

где Г — гамма-функция Эйлера,

. (7)

Через эту же фукцию выражается и дисперсия рас­сматриваемого распределения:

(8)

При п 1 справедливы следующие приближенные соотношения:

(9)

(k - числовой коэффициент), раскрывающие смысл параметров x₀ и п. Мы видим, что x₀ — это «почти» средний размер осколков, а величина п характеризует «кучность» распределения относительно среднего раз­мера: чем больше п, тем более равномерно произведено дробление.

Модельные задачи. Параметр п определяется в основ­ном технологией производства взрывных работ. Вели­чину х₀ можно определять из решения модельных за­дач, причем выбор модели определяется физико-механи­ческими свойствами материала, величиной давления и геометрией конструкции. Если, например, рассматри­вается разрушение металлов под действием давления порядка 10⁵—10⁶ кг/см², то соответствующую задачу можно рассчитать по схеме идеальной несжимаемой жидкости или вязкопластической среды, в круге идей, в которых в гл. VII мы рассматривали действие куму­лятивных зарядов.

Для горных пород в большинстве случаев наиболее подходящей является модель хрупкого тела. Возможны также и комбинации различных моделей, Так, при камуфлетном взрыве в скальном грунте вблизи заряда движение грунта может описываться уравнениями сы­пучей или пластической среды, в средней зоне, разре­шенной радиальными трещинами, — уравнениями для стержней, а вдали от зарядов - уравнениями теории упругости.

Величина среднего размера осколка в каждой из моделей обычно вычисляется из исследования устойчи­вости движения по отношению к малым возмущениям синусоидального типа, причем вид движения опреде­ляется характером деформации материала. Во многих случаях разрушение тела наступает при растяжении, поэтому особый интерес представляет исследование в различных схемах устойчивости такого движения, при котором все элементы среды испытывают растяжение.

Основные результаты здесь получены для плоского движения, их можно сформулировать следующим обра­зом:

1. Растяжение упругого стержня устойчиво. Этот ре­зультат непосредственно следует из задачи, рассмотрен­ной в предыдущем параграфе (с заменой F на -F).

2. Равномерное растяжение полосы идеальной не­сжимаемой жидкости устойчиво по отношению к гар­моническим возмущениям границ, симметричных отно­сительно средней линии [6].

3. Растяжение вязкопластической полосы абсолютно неустойчиво к возмущениям указанного выше типа. Этот результат получен в пренебрежении инерционны­ми силами. При любом количестве полуволн растяже­ние приводит к разрыву [5].

Задача о трещинах. Рассмотрим теперь задачу об устойчивости трещин в упругохрупком теле. Простей­шая из возможных постановок состоит в следующем.

Пусть в плоскости (х, у) имеется система параллельных трещин длины 2l, расположенных симметрично от­носительно оси у на расстоянии h одна от другой. В на­чальный момент времени внутри трещин создается дав­ление, превосходящее равновесное и остающееся по­стоянным во все время движения. Требуется описать движение трещин и, в частности, исследовать устойчи­вость процесса.

Полного решения поставленной задачи в настоящее время нет. Можно, однако, построить приближенное ре­шение, опираясь на качественный анализ проблемы и некоторые точные решения более простых задач. Опи­шем вкратце схему решения. Сначала решается:

Статическая задача. Пусть задано растягивающее напряжение р₀, большее, чем прочность ма­териала на растяжение ; предполагается, что при этом в материале образуется система параллельных тре­щин заданной длины. Требуется определить расстояние h между трещинами.

В теории хрупких трещин показывается (см. Л. И. Седов [1]), что равновесие трещины опреде­ляется одним параметром — равновесным коэффициен­том интенсивности напряжении или модулем сцепления

, (10)

где Е модуль Юнга, — эффективная удельная энер­гия, идущая на образование единицы поверхности тре­щины, — коэффициент Пуассона (размерность этой величины МL¹/²Т^-2). Прочность материала на растяже­ние связана с величиной К₀ и длиной трещины соот­ношением

. (11)

Поставленная задача в принципе может быть ре­шена методами плоской задачи теории упрутости (см. і Н. И. М у с х е л и ш в и л и [3]). Можно показать, что в окрестности носика трещины напряжение стремится к бесконечности по закону , где s — малое расстоя­ние от носика, а К —

коэффициент интенсивности напряжений в данный момент времени. Равновесие имеет место, когда К = К₀ Точное решение в конечном виде, однако, в настоящее время не получено. Известно лишь приближенное решение

p₀ (12)

полученное для h > l, или

p₀ (13)

для h l (В. М. Кузнецов [7]).

Наряду со статической рассматривается

Динамическая задача. Заданы длина трещин и расстояние между ними. Найти скорость при давле­ниях р, превышающих равновесное давление р₀.

Динамические задачи теории хрупкого разрушения являются более трудными, и до настоящего времени их решено очень мало даже в самых простых предполо­жениях. Имеются, однако, экспериментальные факты, использование которых помогает решению. Оказывает­ся, например, что напряженное состояние в окрестности носика движущейся трещины мало отличается от того, которое наблюдается в случае равновесной неподвиж­ной трещины. Это позволяет на каждом этапе движения трещины искать решение статической задачи, соответ­ствующей данной геометрии.

Можно, далее, показать, что скорость развития тре­щины не может превышать некоторой величины с (тео­ретически равной релеевской скорости, практически — всегда составляющей примерно половину ее). Эти сооб­ражения приводят к построению следующей формулы для скорости V движения трещины:

V = c , (14)

где с —предельная скорость, К — коэффициент интен­сивности напряжений в данный момент времени, К₀ — равновесная величина того же коэффициента (см. ра­боту [7]).

Устойчивость. Пусть в предыдущей задаче трещины через одну получили одинаковое малое приращение длины. Как изменится скорость развития трещин?

Оказывается, длинные трещины при этом ускоряют­ся, а короткие замедляются. Качественно этот резуль­тат понятен и без выкладок: длинные трещины «экрани­руют» более короткие и зажимают их. Расчет показывает, что если длина больших трещин в е раз превышает длину малых трещин, то наличие последних практически не влияет на напряженное состояние в ок­рестности' носика длинных трещин.

Короткие трещины при этом останавливаются, длин­ные— продолжают развиваться. Теперь можно рассмат­ривать развитие новой системы трещин, расстояние ме­жду которыми равно 2h. Эту систему можно подвер­гнуть возмущениям описанного типа и т. д. Таким образом, неустойчивость развития системы трещин при­водит к увеличению расстояния между ними. Если тре­щины проходят расстояние L, то число актов удвоения

равно log , а расстояние между трещинами состав­ляет

. (15)

Длинные осколки в форме пластин разрушаются так же, как стержни под действием продольного удара (см. предыдущий параграф), и при этом образуются осколки, размер которых имеет порядок h. Таким обра­зом, величина h играет роль среднего размера осколка, входящего в формулы (1), (9) и другие.

Влияние масштаба взрыва на размер осколков. Рас­смотрим два геометрически подобных взрыва в одина­ковых горных породах. Пусть все линейные размеры в одном из них в k раз больше, чем в другом. Вес ВВ, который пропорционален объемам, увеличится в k³ раз. А как изменится средний размер куска?

В геометрически подобных точках в обоих случаях напряжения в соответствующие моменты времени будут одними и теми же. Поэтому первоначальная сетка тре­щин должна быть одинаковой. Однако время действия нагрузок, а следовательно, и время развития трещин будет больше для более крупного взрыва. В силу отме­ченной выше неустойчивости расстояние между трещи­нами будет возрастать, причем в большей степени для более мощного взрыва.

В идеализированной задаче предыдущего пункта при изменении линейного масштаба в k раз расстояние ме­жду трещинами изменялось в k^log2 раз, так же изме­нялся и размер осколков. Мы сделаем допущение, что и в общем случае при изменении масштаба взрыва в k раз средний размер осколков изменится в раз, где 0 < а < 1.

Вот некоторые конкретные примеры.

При взрыве заряда весом 500 г в камне весом 5000 кг средний размер осколков x₀ = 19 см, а при взрыве 0,5 г в камне весом 2130 кг средний размер x₀ = 5 см. Так как масштаб взрыва пропорционален корню кубическому из веса ВВ, то масштаб второго взрыва был в 10 раз меньше первого; средний размер осколков изменился при этом примерно в 4 раза.

При взрыве на выброс заряда в 100 г на глубине 40 см средний размер кусков х₀ = 13,5 см, при взрыве 20 т ВВ x₀ = 100 см. Здесь увеличение масштаба взрыва в 60 раз привело к увеличению среднего размера кусков в 8 раз.

На основании указанных выше соображений и мно­гочисленных экспериментов была построена эмпириче­ская формула, определяющая средний размер куска в зависимости от удельного расхода ВВ и масштаба взрыва:

(16)

Здесь x₀ измеряется в см, вес ВВ Q — в кг, объем взорванной массы V — в м³