5.7.Устойчивость процесса в нелинейных системах.

Для её иследований А.М.Ляпуновым, основоположником устойчивости НСАР, были введены понятия о невозмущённом и возмущённом движении системы.

Невозмущённым движением называют переходный или установившийся процесс при некоторых определённых начальных условиях и заданном внешнем воздействии. В частном случае это может быть и состояние равновесия.

Возмущённым называют процесс, полученный из невозмущённого путём изменения начальных условий.

П оэтому если в пространстве состояний НСАР невозмущённое и возмущённое движения изобразить в виде годографоф соответственно векторов и , то можно определить отклонение возмущённого движения от невозмущённого: Основываясь на пространстве отклонений Ляпунов дал следующее определение устойчивости невозмущённого движения.

Невозмущённое движение устойчиво если, в пространстве отклонений для лубой сколь угодно малой области  допустимых отклонений, можно найти такую расположенную в нутри неё облать () начальных отклонений, что любое движение , начавшееся при t=0, в области (), в дальнейшем при t никогда невыходит за приделы области  (см. рис.).

При этом если ввести в рассмотрение область γ установившихся отклонений, куда стремится изображающая точка при t, и если γ=0, то устойчивость называется асимптотической, так как в этом случае является асимптотой для .

Различают три вида асимптотической устойчивости:

1. “в малом”, когда область () бесконечно мала, (именно такая устойчивость исследуется в линейных моделях НСАР);

2. “в большом”, когда область () конечна;

3. “в целом”, когда область () бесконечно велика.

5.8. Прямой (второй) метод А.М. Ляпунова

Он позволяет иследовать устойчивость лубого невозмущённого дввижения НСАР, в том числе и состояние равновесия, непосредственно по уравнениям системы в кононической или нормальной форме Коши:

(6.11)

В частности, для состояния равновесия

И пусть координаты равновесия:

Тогда можно ввести в рассмотрение специальную функцию Ляпунова (x₁,…,x_n) – это гладкая положительноопределённая функция переменных состояния, а в остальных точках пространства состояния системы – положительная.

Тогда для того, чтобы невозмущённое движение и в частности, было устойчиво, достаточно существование такой положительноопределённой функции V(x₁,…,x_n) переменных состояний, производная которых по времени dV/dt, в силу уравнений системы, является знакопостоянной функцией противоположного с функцией V(…). При этом если dV/dt окажется отрицательноопределённой функцией, то невозмущённое движение системы асимптотически устойчива в целом.

Заметим, что:

1. знакопостоянная функция, в отличие от знакоопределённой, может иметь нулевые значения не только в начале координат. Во всех остальных точках, кроме нулевых, обе функции имеют постоянный знак.

2. П роизводная по времени от функции Ляпунова находится по правилу дифференцирования сложной функции, то есть:

Для докозательства сформулированного утверждения рассмотрим в пространстве состояний семейство поверхностей с общим уравнеием V(x₁,…,x_n)=С_i=const.

При этом поверхность с большим значением C_i охватывает не только начало координат, но и поверхности C_i.

Тогда движение изображающей точки по траектории – 1 стремится к началу координат и происходит от повехности с большим C_i к поверхности с меньшим C_i. В этом случае функция dV/dt является отрицательноопределённой, значит движение устойчиво асимтотически.

Траектория – 2, в отличие от траектории – 1, стремится в т очку равновесия на оси X₁. В этом случае функция dV/dt является знакопостоянной. Значит движение устойчиво, но не асимтотически.

Такое же движение соответствует и траектории – 3, которая стремится к поверхности C₁, тоесть к режиму установившихся автоколебаний системы.

Траектория – 4 соответствует устойчивому движению, хотя условия метода Ляпунова и не выполняются. Это свидетельствует о том, что данный метод отражает достаточное, но необходимое условие устойчивости.