Задачи с экономическим содержанием

Понятие матриц широко применяется при решении практических задач. Применяя известные действия с матрицами, можно определить объемы производства или продаж за несколько отчетных периодов, прирост производства или продаж по сравнению с предыдущим периодом, выручку, стоимость затрат и т.п.

Пример 7. В трех магазинах продаются два типа продукции. Матрицы , и – объемы продаж этой продукции в магазинах в первом, втором и третьем месяцах соответственно (усл. ед.). Цена реализации одной условной единицы первого и второго типа продукции задана матрицей (ден. ед.). Определить: 1) матрицу - объем продаж за квартал; 2) матрицу - прирост продаж за третий месяц по сравнению со вторым; 3) выручку каждого магазина за квартал. Проанализировать результаты.

, , , .

Решение:

1) Объем продаж за квартал – есть сумма матриц , и , т.е.

= + + = .

Итак, первый магазин продаст продукции первого типа за квартал на 12 усл. ед., второго типа на 15 усл. ед. Объем продаж второго магазина за квартал продукции первого и второго типа составит соответственно 17 и 18 усл. ед., а третьего 18 и 22 усл.ед.

2. Прирост в третьем месяце по сравнению со вторым для трех магазинов определяется разностью матриц и , причем положительные элементы показывают, что объем продаж увеличился, отрицательные – уменьшился, нулевые – не изменился.

= – = .

Итак, в третьем месяце по сравнению со вторым в первом магазине объем продаж продукции первого типа увеличился на 1усл. ед. второго типа – на 2. Второй магазин в третьем месяце объем продаваемой продукции первого типа увеличил на 1 усл. ед., а продукции второго типа продал на 1 усл. ед. меньше, чем во втором месяце. У третьего магазина уменьшился объем продаваемой продукции первого типа на 1 усл. ед., а второго типа – не изменился.

2. Выручка каждого магазина за квартал определяется матрицей .

= .

Итак, выручка от реализации всей продукции за квартал для первого магазина составила 105 ден. ед., для второго – 139 ден. ед. и для третьего – 156 ден. ед.

Пример 8. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом ежедневно используется сырье трех типов: , и , которое должно быть израсходовано полностью. Нормы расхода каждого из них на изготовление одной пары обуви и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.

Вид сырья	Нормы расхода сырья на изготовление одной пары, усл.ед.			Расход сырья за один день, усл.ед.
	сапог	кроссовок	ботинок
	5 2 3	3 1 2	4 1 2	2700 900 1600

Необходимо:

1. составить систему уравнений для нахождения ежедневного объема выпуска каждого вида обуви;

2. решить эту систему по формулам Крамера;

3. решить систему матричным методом;

4. решить систему, применяя таблицы Гаусса.

Решение: Введем обозначения: пусть ежедневно фабрика выпускает пар сапог, пар кроссовок и пар ботинок.

1. в соответствии с расходом сырья каждого вида получим систему:

.

2. для решения этой системы по формулам Крамера составим и вычислим определители:

;

;

;

.

Замечание. При вычислении определителей применяли свойство 5⁰.

Найдем решение системы по формулам (2.7):

; ; .

Следовательно, решение системы имеет вид: (200; 300; 200).

3. для данной системы уравнений матрица системы ,

матрицы-столбцы свободных членов и неизвестных .

Для нахождения решения по формуле (2.6), необходимо найти для матрицы обратную. Выполним все четыре пункта алгоритма нахождения :

1. ;

2. ;

3. Найдем алгебраические дополнения для всех элементов :

.

Итак, присоединенная матрица имеет вид: .

4. Вычислим обратную матрицу по формуле (1.5): :

.

Следовательно, решение = .

Итак, , или .

4. заполним первую таблицу Гаусса (Т.1), используя коэффициенты при неизвестных системы и столбец свободных членов уравнений. Поскольку решение единственное, то столбец «б. п.» следует опустить.

5 2 3	3 [1] 2	4 1 2	2700 900 1600	Т.1
-1 2 -1	0 1 0	[1] 1 0	0 900 -200	Т.2
-1 3 [-1]	0 1 0	1 0 0	0 900 -200	Т.3
0 0 1	0 1 0	1 0 0	200 300 200	Т.4

Отсюда, восстановив систему по Т.4, получим:

или (200; 300; 200).

Итак, фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 пар кроссовок и 200 пар ботинок.