1.3.6. Рівномірні шкали

Розглянемо такий приклад. Нехай досліджуватимемо рівень до­ходів членів конкретної сім’ї. Припустимо, бабуся і дідусь отримують пенсію розміром відповідно 50 і 100 ум. од., а мама і тато заробляють відповідно 1000 і 1050 ум. од. Зауважимо, що різниця між доходами дідуся і бабусі дорівнює різниці між доходами тата і мами й стано­вить 50 ум. од.

Разом з тим мама і тато заробляють приблизно однаково (їх за­робітні плати різняться приблизно на 5%), а доходи дідуся вдвічі перевищують доходи бабусі.

Отже, в процесі вимірювання доходів з точністю до умовної одиниці для коректного порівняння доходів двох індивідуумів потрібно знати не тільки різницю між їхніми доходами, а й власне доходи.

Для того щоб співвідношення будь-яких двох значень залежало лише від різниці між ними⁸, шкали рівноміризують за допомогою так званих процедур рівноміризації. Як правило, вони такі: множину значень початкової шкали, за якою вимірюється ознака, поділяють на кілька суцільних інтервалів не обов’язково однакового розміру. Потім кожному інтервалу призначають ціле число (номер) так, щоб номери сусідніх інтервалів відрізнялись на одиницю. Одержані номе­ри інтервалів і утворюють нову шкалу. Наприклад, для останнього розглянутого випадку дослідження доходів сім’ї прибутки бабусі та дідуся могли б потрапити в різні інтервали (тобто розрізнялися но­вою шкалою), а мами і тата – в один (тобто не розрізнялися). Питан­ня полягає лише в тому, як виконати цю процедуру, щоб забезпечити рівномірність. Такі процедури розглянемо в подальшому.

1.4. Якісні та кількісні ознаки

Отже, як тепер знаємо, є три типи шкал: номінальні, поряд­кові та числові. В процесі цього порядкові шкали, як і числові, часто задаються числами. Принципова відмінність полягає в тому, що в порядковій шкалі числові значення лише впорядковують елементи сукупності, а в числовій вони мають усі властивості чисел. Іншими словами, їх можна додавати, віднімати тощо.

Цю відмінність покладено в основу таких означень. Ознаку нази­вають кількісною, якщо арифметичні операції над нею не суперечать здоровому глузду. У противному разі ознаку називають якісною.

За такою класифікацією якісними називають ознаки, які вимі­рюються за номінальною або порядковою шкалою, а кількісними – ознаки, які вимірюються за числовою шкалою.

Наприклад, IQ – це якісна ознака людини, заробіток індивіду­ума – кількісна.

1.5. Ранжування

Часто у статистичному аналізі, наприклад, у процесі порівняння сукуп­ностей даних, використовують процедуру ранжування. Ця процеду­ра призначає значенням, які вимірюються принаймні за порядковою шкалою, певні ранги. Під час цього ранги пам’ятають порядок значень, але забувають відстань між значеннями.

Опишемо цю процедуру. Нехай маємо деяку сукупність даних обсягом n. Впорядкуємо її за зростанням. Припустимо, одержано таку послідовність даних:

X₁,X₂,X₃, . . . ,X_n−1,X_n.

Можливі два випадки: ідеальний, коли всі значення в сукупності різні, і такий, коли деякі значення повторюються.

Ідеальний випадок. У ситуації, коли всі значення в сукупно­сті різні, найменшому значенню (елементу) Хі призначимо ранг 1, наступному за розміром елементу Х₂ – ранг 2 і так до кінця. Най­більший елемент Х_п матиме ранг n.

Випадок з повтореннями. У цій ситуації спочатку призначи­мо кожному елементу ранги так, ніби повторень немає. Назвемо ці ранги попередніми.

Впорядковані значення	Х1	Х2	Х3	…	Хп-1	Хп
Попередні ранги	1	2	3	…	п – 1	п

Якщо деяке значення не має повторень, його попередній ранг і є рангом. Для однакових елементів попередні ранги потрібно модифі­кувати. Покажемо, як це зробити. Розглянемо деяку групу однако­вих значень (нехай решта даних у сукупності мають інші значення) з їх попередніми рангами.

Група однакових значень	Хі	Хі+1	…	Хі+k
Попередні ранги	і	і + 1	…	і + k

Усім елементам цієї групи призначимо однаковий ранг, який до­рівнює середньому значенню їх попередніх рангів:

Зауважимо, що значення цього виразу можна обчислити прості­ше. Воно дорівнює середньому значенню двох крайніх елементів гру­пи, тобто

Процедура ранжування не складна, а скоріше механічна. Про­те дослідники, виконуючи ранжування вручну, часто помиляються. Для контролю правильності ранжування прийнято перевіряти таку властивість: якщо сукупність має обсяг п, то загальна сума рангів її елементів дорівнює

Приклад 1.3.16. Нехай психолог за допомогою тесту оцінив рі­вень роздратованості у групі вчителів початкових класів за семи­бальною шкалою. Наведемо результати дослідження.

Номер учителя у списку	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Рівень роздратованості	1	5	2	5	3	3	7	1	2	2	2	4	5	1

Проранжуємо цей список. Для цього запишемо послідовність рів­нів роздратованості в порядку зростання

1,1,1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 7.

Призначимо цим значенням попередні ранги.

Рівень роздратованості	1	1	1	2	2	2	2	3	3	4	5	5	5	7
Попередній ранг	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14

Після цього підправимо ранги в кожній підгрупі однакових зна­чень. Для підгрупи елементів з рівнем 1 маємо попередні ранги 1, 2, 3. Тому ранг елементів підгрупи дорівнює

Попередні ранги підгрупи з рівнем роздратованості 2 дорівню­ють 4, 5, 6 та 7. Крайнім позиціям відповідають ранги 4 і 7. Отже, спільний ранг підгрупи дорівнює

Аналогічно знаходимо ранги підгруп з рівнями 3 і 5:

Оскільки рівні 4 і 7 мають лише по одному індивідууму, їх ранги збігаються з попередніми рангами відповідно 10 і 14.

Запишемо результати ранжування.

Рівень роздратованості	1	2	3	4	5	7
Ранг	2	5,5	8,5	10	12	14

Перевіримо правильність ранжування, враховуючи кількості по­вторень рангів:

Оскільки контрольна рівність

правильна, маємо всі підстави вважати, що ранжування було здій­снено без помилок.

Остаточні результати ранжування зведемо в таблицю.

Номер учителя у списку	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Рівень роздратованості	1	5	2	5	3	3	7	1	2	2	2	4	5	1
Ранг	2	12	5,5	12	8,5	8,5	14	2	5,5	5,5	5,5	10	12	2

Висновки

У прикладних соціологічних та психологічних дослідженнях часто застосовують методи математичної статистики. В процесі цього основними об’єктами, що вивчаються, є сукупності. Кожна сукуп­ність складається з кількох елементів, які мають зазвичай однорідну природу.

Властивості елементів сукупності називають їх ознаками. Кожна ознака може приймати кілька значень. У процесі вивчення деякої ознаки елементів сукупності її значення для всіх елементів утворюють нову сукупність, а саме сукупність даних. Фактично математична стати­стика вивчає методи аналізу загальних характеристик сукупностей даних.

Для зручності викладу і спрощення термінології поняття «сукуп­ність об’єктів» та «сукупність даних» вважатимемо тотожними.

Властивості сукупностей вивчають різними методами математи­чної статистики. Найпринциповішим чинником для можливості за­стосування певного статистичного методу в процесі дослідження конкрет­ної сукупності даних є найзагальніші характеристики цих даних, які визначаються можливими значеннями ознаки сукупності.

Можливі значення ознаки називають її шкалою вимірювання. Є кілька типів і класифікацій шкал, і саме від типу шкали за­лежить можливість (або неможливість) використання конкретного статистичного методу.

Ключові поняття

Обсяг сукупності

Ознаки:

• кількісна;

• якісна.

Ранг

Ранжування

Сукупність

Шкали:

• дискретна;

• дихотомічна;

• інтервальна;

• неперервна;

• номінальна;

• порядкова;

• пропорційна;

• рівномірна;

• числова.

Вправи

1. Наведіть приклад ознаки, яка вимірюється за номінальною непорядковою шкалою з трьох значень і реально застосовується у пси­хології.

2. Припустимо, необхідно виміряти рівень інтелекту людини. За стандартною процедурою тестування визначається її IQ-індекс⁹. Проте, якщо особа заповнить кілька різних тестів, можна одержа­ти різні значення IQ-індексу. Припустимо, пропонується заповнити 4 різних тести з тижневим інтервалом. Середнє значення одержа­них IQ-індексів вважається модифікованим IQ-індексом. За якою шкалою вимірюється модифікований IQ-індекс: порядковою чи но­мінальною?

3. Нехай для групи з 12 абітурієнтів проводилося вступне тесту­вання. Результати тесту в балах були такі:

18, 27, 26, 38,42,19, 30, 30,42, 36,19,42.

Обчисліть ранги значень цієї сукупності.

Дослідницький проект

Як зауважувалось у прикладі 1.3.7, не коректно вважати число­вими характеристиками оцінки «2», «3», «4» та «5» рівня успішності студентів. Спробуємо обґрунтувати цю тезу.

Деякі викладачі виставляють оцінки на екзамені за багатобаль­ною методикою. Припустимо, один з них підготував завдання для екзамену так, що максимально студент може набрати 100 балів. Ви­кладач ставить студентові оцінку «5», якщо той набирає 81-100 балів, оцінку «4» – за 61-80 балах, оцінку «3» – за 41-60 балах. Якщо студент набирає 40 або менше балів, то отримує оцінку «2».

Припустимо, викладач проводить екзамен у двох групах, які складаються з 10 студентів і виставляє оцінки за щойно описаним правилом. Далі ви­кладач заповнює оцінками відомості груп і передає їх до деканату.

Якщо два студенти набирають відповідно 81 і 80 балів, то вони скоріше мають однаковий рівень знань, проте для деканату один з них отримує оцінку «відмінно», а інший – лише «добре». Разом з тим рівні знань двох студентів, які отримали відповідно 61 та 80 балів, скоріше значно різняться, проте в деканаті цього не бачать, тому що обидва студенти отримують оцінку «добре».

Припустимо, за результатами екзамену деканатом встановлено середні оцінки з певного предмету в кожній з двох груп. Незалежно від деканату середні оцінки в кожній групі визначив і викладач. У процесі цього, маючи повну інформацію про результати екзамену, він корис­тувався списком набраних студентами балів, а не остаточним спис­ком оцінок. Отже, викладач спочатку обчислив середні бали груп за 100-бальною шкалою, а потім перевів одержані результати у стан­дартні п’ятибальні оцінки за описаним раніше правилом.

У результаті виявились певні суперечності щодо результатів ви­кладача і деканату:

1. За обчисленнями деканату в першій групі середня оцінка ста­новила 4,1, а за обчисленнями викладача – 5.

2. Середня оцінка іншої групи – відповідно 3,9 за обчисленнями деканату і 3 – викладача.

Отже, розбіжності одержаних деканатом і викладачем значень середньої оцінки становлять майже 1 бал у кожній групі.

На Вашу думку, чи можлива така ситуація? Ймовірно, деканат або викладач помилились під час обчислення? Якщо ж така ситуація можлива, чи можете Ви змоделювати її, тобто визначити одержані на екзамені студентами обох груп бали за 100-бальною шкалою?

1 Є і складніші класифікації. Найчастіше числові шкали розбивають на калька підшкал за природою числових значень ознаки.

2 Номінальну шкалу, яка має лише два значення, називають дихотомічною.

3 В українській школі нині використовують іншу, 12-бальну систему.

4 Для зручності ці рівні шкали оцінок часто спрощено записують числами “2” , “3” , “4” та “5” . Проте ці числа позначають лише відповідні слова (оцінки). Різниця між оцінками “3” та “4” і “4” та “5” може бути різною. Мало того, кожний викладач має власну інтерпретацію цих оцінок, яка до того ж може різнитися за академічними групами.

Тому взагалі працювати з оцінками “2” , “3” , “4” та “5” як числами великою мірою некоректно. Скажімо, некоректно визначати середній бал у групі студентів.

Проте середню оцінку визначають часто і тому в подальшому викладі за традицією в деяких прикладах оцінки “2” , “3” , “4” та “5” трактуватимемо не як слова, а як числа.

5 У літературі такі шкали часто називають метричними (див., наприклад, [9]).

6 Нульове значення називають відносним, якщо шкала містить як від’ємні, так i додатні числа. Нульове значення абсолютне, якщо на шкалі немає від’ємних чисел.

7 Пропорційні шкали часто називають шкалами рівних відношень (див., наприклад, [17]).

8 Цю властивість називають властивістю рівномірності шкали.

9 Нагадаємо, що IQ-індекс вимірюється за порядковою шкалою.

24